Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Математическая формулировка задачи




Предположим, что все возможные состояния системы S, в которых она находиться можно перечислить одно за другим, отмечая определённую упорядоченность случайных событий, заключающуюся в невозможности их произвольной последовательности

S1 ® S2 ® S3 ® … ® Sк ® … ® Sп. (4)

Пример 1.

Так, например, погрузка судна, не может быть произведена раньше его выгрузки.

Случайные процессы, протекающие в системе S, состоят в том, что в последовательные фиксированные моменты времени t1; t2; t3; … tк; … tn система оказывается в тех или иных состояниях.

Следовательно, функционирование системы можно рассматривать как стохастический процесс, характеризующийся последовательностью случайных событий. Условимся обозначать Si k событие, состоящее в том, что после k шагов система находиться в состоянии Si. Шаг системы k – называется действие, которое позволяет судить о смене системой своих состояний в фиксированные моменты времени. Случайный процесс, происходящий в системе S, будем рассматривать как функцию целочисленного аргумента.

Для анализафункционирования системы очень удобно пользоваться геометрической схемой – так называемым графом процесса состояний системы.
Граф процесса состояний системы геометрически изображает перечисленные состояния системы и её возможные переходы из состояния в состояние (см. рис. 2). На этом графе кружочками обозначаются состояния системы, стрелками – возможные направления перехода системы из состояния в состояние.

Рисунок 2. - Граф-процесса состояний системы

Обозначим вероятности событий как, …,. Тогда для каждого шага k процесса системы имеет место равенство:

(5)

Равенство суммы вероятностей несовместных событий, образующих полную группу – называется нормирующим.

Вероятность перехода системы S из состояния Si в состояние Sj на k шаге, пользуясь введёнными выше событиями можно записать как условную вероятность. Условная вероятность перехода системы S из состояния Si в состояние Sj на k шаге равна:

(6)

Если при любом k события S1k; S2k; S3k;… Smk;… Sпk образуют полную группу несовместных событий и для каждого шага условная вероятность перехода pi,jk из состояния Si в любое состояние Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si, то такая случайная последовательность событий называется Марковской цепью.

 

Если проставить эти вероятности на граф-процесса состояний системы – то такой граф называется размеченным (см. рис. 3).


Рисунок 3. - Размеченный граф-процесса состояний системы

На размеченном графе принято проставлять не все переходные вероятности, а только те из них, которые меняют состояние системы, т.е. не равные нулю. Кроме того, излишне проставлять на графе и «переходные вероятности задержки» pi,i, так как каждая из них дополняет до единицы сумму переходных вероятностей, соответствующих всем стрелкам, исходящим из данного состояния.

Совокупность pi,jk, записанных в виде прямоугольной таблицы – составляют матрицу вероятностей перехода, являющейся основой модели исследуемой ситуации. Матрица вероятностей переходов за один, k -й шаг процесса, имеет следующий вид:

(7)

где pi,jk - вероятность того, что система, находящаяся в состоянии Si, в результате k -го шага перейдёт в состояние Sj;

i – номер строки или исходного состояния системы ();

j – номер столбца или последующего состояния системы ().

По главной диагонали матрицы стоят вероятности pi,ik, это означает, что система не выходит из состояния Si , а остаётся в нем. Если некоторые переходные вероятности pi,jk = 0 – это означает, что за один шаг переход системы из i -го состояния в j -е состояние невозможен.

Свойства матрицы вероятностей переходов:

1. Матрица всегда квадратная, т.е. i=j (ее размер определяется числом состояний системы);

2. (сумма вероятностей в каждой строке матрицы составляет полную группу несовместных событий и следовательно равна единице). Это свойство используется для проверки правильности заполнения матрицы вероятностей перехода и для контроля за правильностью вычислений;

3. Элемент j столбца может рассматриваться как условная вероятность перехода системы в j- e состояние при условии, что до перехода она была в i- м состоянии.

С помощью переходных вероятностей можно описать основные состояния дискретной цепи МАРКОВА.

Состояние Si называется несущественным, если из него система с положительной вероятностью переходит в некоторое другое состояние Sj, из которого невозможен переход в первоначальное состояние Si. Все состояния, отличные от несущественных состояний, называются существенными.

Два состояния Si и Sj называются сообщающимися, если система с положительной вероятностью за f шагов переходит из состояния Si в Sj и за l шагов возвращается в первоначальное состояние.

Состояние Si называется поглощающим, если вероятности перехода подчиняются условиям:

при (8)

В нашем примере на рис. 2 состояния S1 по Sm+2 являются несущественными. А состояние Sn являются существенным, т.к. из любого состояния Si система может перейти в данное состояние, а из этого состояния система уже не выходит. Кроме того, состояние Sn является и поглощающим.

Если pi,jk от шага к шагу не меняются pi,j(i) = … = pi,j(n), такая дискретная цепь Маркова называется однородной. В матрице перехода однородной Марковской цепи индекс k опускается. Если pi,jk от шага к шагу меняются pi,j(i) ¹ … ¹ pi,j(n), такая дискретная цепь Маркова называется неоднородной.

Часто в экономической области нас интересует результат действий за k шагов процесса, поэтому в лекции в начале рассмотрим модели ДЦМ с конечным числом шагов.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 390; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.