Модели ДЦМ с бесконечным числом шагов

Разработка математической модели

Уяснение ЭМПЗ

Цель действий: Определить марку автомобиля, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование.

Показатель эффективности: Вероятность нахождения автомобиля в исправном состоянии.

Цель математического моделирование: Определение вероятности состояний для каждой марки автомобиля после k лет эксплуатации.

Представим процесс эксплуатации автомобилей в виде системы. Состояния системы характеризоваться исправностью автомобиля в период эксплуатации. Исходя из этого система может находиться в одном из двух состояний:

- S₁ – автомобиль исправен;

- S₂ – автомобиль требует ремонта;

Состояние системы меняется в фиксированные моменты времени через месяц, 3 месяца и 5 месяцев. Поэтому процесс эксплуатации автомобилей может быть представлен как дискретная цепь Маркова (Марковский случайный процесс с дискретным числом состояний системы и дискретным временем переходов).

Граф-процесса данной системы можно представить в следующем виде:

S₁

S₂

Рисунок 4. – Граф-процесса системы эксплуатация автомобиля

Тогда матрица переходов за один шаг процесса будет иметь вид:

(24)

Начальное состояние системы спроса на горюче-смазочные материалы зададим вектором строкой:

(25)

Через месяц спрос на горюче-смазочные материалы составит:

(26)

Через 3 месяца спрос на горюче-смазочные материалы составит:

(27)

Через 5 месяца спрос на горюче-смазочные материалы составит:

(28)

3. Расчёт показателя эффективности

а) Для автомобиля марки А.

б) Для автомобиля марки В.

Режим работы системы при достаточно большом числе шагов k является стационарным (установившемся). В установившемся режиме система S случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них постоянна и не зависит от времени. До наступления стационарного режима система находиться в переходном режиме, длительность которого можно определить с помощью некоторого показателя, зависящего от разности.

Однородная дискретная цепь Маркова называется эргодической, если она обладает следующими свойствами:

при, где, (29)

где p_ij(k) – вероятность перехода из состояния S_i в состояние S_j за k шагов;

р_j – можно рассматривать как вероятность того, что система окажется в состоянии S_j на k шаге, если k стремиться к бесконечности, поэтому данные вероятности называются предельными (финальными) вероятностями.

Наиболее важной задачей для эргодических цепей является вычисление предельных вероятностей, если известно начальное распределение системы и матрица переходных вероятностей. Из формулы полной вероятности следует, что

(30)

Но для установившего режима безусловные вероятности р_j (k) равны вероятностям состояний системы, которые при стремятся к предельным вероятностям р_j.

(31)

Поэтому получили однородную систему линейных алгебраических уравнений

(32)

Добавив к ней условие нормировки

(33)

и решая систему (27) и (28) различными методами (например, по формулам КРАМЕРА, или ГАУСА) находят предельные вероятности.

Обозначим вектор предельных вероятностей как. Тогда систему алгебраических линейных уравнений можно записать в матричной форме

(34)

Если начальные вероятности состояний системы совпадают с предельными вероятностями, то во все моменты времени система находиться в стационарном режиме.

Если дискретная цепь Маркова содержит хоть одно поглощающее состояние, то она называется поглощающей. Основная особенность поглощающих цепей заключается в том, что вероятность перехода в любое несущественное состояние при числе шагов стремиться к нулю, а вероятность перехода в поглощающие состояния стремиться к единице. Поэтому поглощающие состояния иногда ещё называют предельными.

Пример №4.

Определить спрос в процентном отношении на горюче-смазочные материалы различных фирм производителей в установившемся режиме, считая, что частости смены горюче-смазочных материалов различных фирм производителей останутся неизменными? Исходные данные представлены в примере №4.

Дата добавления: 2014-01-20