Потоки событий

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Подведение к основной мысли

На практике значительно чаще встречаются ситуации, когда переходы системы из состояния в состояние осуществляются в любые моменты времени, которые заранее указать невозможно. Математическая модель таких случайных процессов формируется методами теории непрерывных цепей Маркова (НЦМ), которую мы ранее разделили на два больших класса (см. лекцию 1.1.):

- система массового обслуживания (СМО);

- процессы поиска (ПП).

Конкретная цель

В лекции будут рассмотрены основы теории непрерывных цепей Маркова для оценки эффективности действий по управлению водным транспортом.

При рассмотрении случайных процессов, протекающих в системе S и представленных как непрерывная цепь Маркова, часто приходиться встречаться с так называемыми «потоками событий».

Потоком событий – называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Основное допущение, с которым связана возможность построения математической модели НЦМ, состоит в том, что рассматриваются потоки событий, происходящие в системе S, как простейшие.

Поток событий называется простейшим, если он удовлетворяет трем требованиям:

- ординарности;

- стационарности;

- отсутствия последействия.

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления одного события за малый промежуток времени P_i(dt) величина более высокого порядка по сравнению с вероятностью появления двух и более событий за этот же промежуток времени. Ординарность потока означает, что события в потоке приходят поочерёдно. Поэтому неординарный поток всегда можно рассмотреть как ординарный, представив его как группу одновременно преходящих событий.

Поток событий называется стационарным, - если математическое ожидание числа событий, появившихся в системе за интервал времени dt, или вероятность попадания того или иного числа событий Р_i(dt) на интервал времени dt зависит только от длинны этого интервала и не зависит от того, где именно на оси времени расположен этот интервал.

Если принять случайную величину появления одного события на интервале времени dt с вероятностью p₁(dt) за 1 и за 0, если не произошло появления данного события на интервале времени dt с вероятностью p₀(dt) то в силу ординарности потока

(1)

Из теории вероятностей известно, что

(2)

где l - плотность потока событий, которая имеет смысл математического ожидания числа событий, появившихся в системе в единицу времени.

Этот параметр мы будем называть интенсивностью перехода системы из одного состояния в другое. Для стационарного процесса интенсивность − постоянна,

l = const (3)

а для нестационарного процесса интенсивность − зависит от времени

l = l(t) (4)

Большинство потоков, встречающиеся в экономической области, нестационарные. Однако их всегда можно представить как стационарные, разбив промежуток времени, в течение которого они поступают, на ограниченные интервалы времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся интервалов времени число событий появившихся в системе за один из них, не зависит от того, сколько их появилось за другие интервалы времени. Иначе это свойство означает, что для любого момента времени будущие моменты наступления событий не зависят от моментов уже наступивших событий. Это одно из серьёзных допущений, в справедливости которого при моделировании надо следить особенно тщательно.

Рассмотрим на оси времени 0-t простейший поток событий (см. рис. 1).

Рисунок 1. – Простейший поток событий

Разобьём промежуток времени t, в течение которого происходит поступление заявок, на ограниченные n элементарные интервалы времени.

(5)

и считая, что за этот элементарный интервал времени может наступить или одно или ни одного события при m - числа появлений интересующего нас события в течение промежутка времени t, то вероятность появления событий из n элементарных интервалов времени Р_n,m определится как:

(6)

Так как поток заявок в системе простейший, то:

(7)

Виду того, что предел произведения равен произведению пределов, то:

(8)

при ограниченном m

(9)

а (10)

Следовательно, закон распределения вероятностей числа появления событий для простейшего потока является - закон Пуассона с параметром l и плотностью распределения f(t) равной:

(11)

при m = 0

(12)

Поэтому функция распределения числа появления событий за время t равна:

(13)

Если считать, что интересующее нас событие не наступило за время t, то функция распределения числа появления событий за время t+t определится как:

(14)

где - условная вероятность появления событий от t до t+t.

Тогда

(15)

Т.е. закон распределения длины промежутка времени между двумя соседними событиями остался показательным с тем же параметром l.

Теперь можно сделать вывод: Если распределение входящего потока событий пуассоновского типа, то интервалы времени поступления событий подчиняются показательному закону.

В действительности простейшие потоки событий отсутствуют, но при моделировании это допущение весьма реально, так как суперпозиция (наложение) четырёх и более не простейших потоков даёт суммарный поток, близкий к простейшему.

Пример №1.

Потоки донесений диспетчеру порта от различных судов и т.д. - не простейшие, а их суммарный поток можно представить как простейший.

Найдём числовые характеристики случайной величины длины интервала времени t: математическое ожидание () и дисперсию D_t.

Математическое ожидание длины промежутка времени для пуассоновского закона определяется по формуле:

(16)

Интегрируя по частям, получим что:

т.е. (17)

Таким образом, интенсивность перехода в системе имеет смысл величины обратной времени математического ожидания интервала между двумя соседними событиями.

Дисперсию длины промежутка времени найдём через второй начальный момент:

(18)

Интегрируя по частям, получим что:

(19)

Извлекая, квадратный корень из дисперсии, найдём среднеквадратическое отклонение длины промежутка времени s_t:

(20)

Таким образом, для показательного распределения математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины длины интервала времени t равны друг другу и обратные параметру l.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определённые промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представляет существенный интерес как предельный случай.

Регулярный поток событий называется потоком Пальма (потоком с ограниченным последействием), если промежутки времени между последовательными событиями Т₁, Т₂ … Т_i … Т_n представляют собой независимые, одинаково распределённые случайные величины (см. рис. 2.).

Рисунок 2. – Поток Пальма

Простейший поток событий есть частный случай потока Пальма: в нем расстояния Т₁, Т₂ … Т_i … Т_n представляют собой случайные величины, распределённые по одному и тому же показательному закону; их независимость следует из того, что простейший поток есть поток без последействия, и расстояние по времени между двумя событиями не зависят от того, каковы расстояния между другими событиями.

Пример №2.

Группа судов идёт кильватерной колонной с одинаковой для всех скоростью V. Каждое судно, кроме ведущего обязано выдерживать строй, т.е. держаться на заданном расстоянии от впереди идущего. Это расстояние, измеряемое РЛС или дальномером, выдерживается с ошибками. Моменты пересечения кораблями заданного рубежа при этих условиях образуют поток Пальма, т.к. случайные величины

… независимы.

Заметим, что тот же поток не будет потоком Пальма, если суда будут выдерживать заданную дистанцию от ведущего судна.

Важным для практики образцами потоков Пальма являются потоки Эрланга - эти потоки образуются в результате «просеивания» простейших потоков. Потоком Эрланга k-го порядка (Э_к) называется поток, получающийся, если в простейшем потоке сохранить каждую k-ю точку, а остальные исключить. Интервал времени Т между соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка представляет собой сумму k независимых случайных величин – расстояний между событиями в исходном простейшем потоке:

(21)

Очевидно, простейший поток представляет собой частный случай потока Эрланга, а именно поток Эрланга 1-го порядка.

Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения длины промежутка времени уже не будет показательным. Вид этого закона зависит от того, где на оси 0-t расположено первое из событий и от вида зависимости l(t), характеризующей переменную интенсивность потока. Однако если l(t) меняется сравнительно медленно и его изменение за время между двумя событиями невелико, то закон распределения промежутка времени между событиями можно приближённо считать показательным, полагая по формуле 12 величину l равной среднему значению l(t) на том участке, который нас интересует.

Дата добавления: 2014-01-20