Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Лекция №8. Квадратичные формы и их приведение каноническому виду

Пусть в - мерном линейно пространстве задан произвольный базис, так что произвольные векторы и имеют соответственно координаты и.

Определение. Числовая функцияот двух векторных аргументовив линейном пространственазывается билинейной функцией или билинейной формой, если она является линейной функцией отпри каждом фиксированном значениии линейной функцией отпри каждом фиксированном значении.

Можно показать, что любая билинейная форма в - мерном линейном пространстве имеет вид

где – фиксированные числа.

Коэффициенты образуют матрицу

которую называют матрицей билинейной формы в базисе.

Определение. Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов и выполняется равенство

Если билинейная форма симметрична, то ее матрица в любом базисе пространства тоже симметрична. Справедливо и обратное утверждение.

Определение. Квадратичной формой в линейном пространственазывается функцияот одного векторного аргумента, которая получается из билинейной формызаменойна.

Другими словами, выражение вида

(8.1)

содержащее только квадраты координат и все их попарные произведения, называют квадратичной формой координат, а числа – коэффициентами квадратичной формы (8.1).

В слагаемых, содержащих произведения координат с различными номерами, специально выделим множитель, ибо выражение

всегда можно представить в виде

если положить по определению, что, а тогда квадратичная форма (8.1) может быть представлена в виде

(8.2)

Из коэффициентов квадратичной формы, записанной в виде (8.2), составим симметричную матрицу

, (8.3)

которую назовем матрицей квадратичной формы в базисе.

Так, например, квадратичная форма двух координат и может быть записана в виде

(8.4)

причем из ее координат можно составить симметричную матрицу

Легко видеть, что квадратичная форма (8.4) может быть записана в виде

(8.5)

Используя операцию произведения матриц, можем записать (8.5) в виде произведения однострочной матрицы на одностолбцовую

В свою очередь второй множитель можно представить в виде произведения квадратной матрицы на одностолбцовую так, что сможем написать

(8.6)

Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу

(8.7)

то равенство (8.6) можно записать в виде

(8.8)

Точно также показывается, что для квадратичной формы координат имеет место формула

(8.9)

где определяется равенством (8.3), а означает одностолбцовую матрицу, элементами которой являются координаты. Будем считать числа координатами некоторого вектора евклидова пространства, имеющего базис, в котором скалярное произведение векторов и определено по формуле

а симметричную матрицу – матрицей некоторого линейного оператора.

Рассмотрим случай, когда вещественные собственные числа матрицы различны. В этом случае все собственные векторы взаимно ортогональны и, следовательно, их можно принять за новый базис.

Обозначим через обозначить одностолбцовую матрицу, элементами которой являются координаты, а через – матрицу поворота, то имеет место формула

. Для этого подставим (8.10) в (8.9)

Учитывая, что транспонирование произведения двух матриц равносильно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке. Запишем предыдущее, равенство в виде

Обозначив через матрицу квадратичной формы в базисе, матрицу, то между ними существует связь

(8.12)

Так как базис

Сформулируем последовательность действий, которые нужно произвести для приведения квадратичной формы к диагональному виду и получения формул перехода.

1. По квадратичной форме построить симметричную матрицу.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни (имеется вещественных корней, которые будем считать различными).

3. Зная корни характеристического уравнения, написать квадратичную форму в диагональном (каноническом) виде.

4. Подставить собственное значение в систему

и, пользуясь правилами решения однородных систем линейных уравнений, найти решение полученной системы (если корни различны, то оно будет определено с точностью до произвольного множителя) и написать разложение первого собственного вектора по старому базису.

5. Проделать указанные в п. 4 операции с остальными собственными числами.

6. Пронормировать каждый из собственных векторов, разделив на его длину.

7. Написать матрицу поворота координатной системы, используя результаты вычислений п. 6.

8. Написать формулы перехода от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы, полученной в п. 7,

, следует разделить обе координаты вектора на его длину, т.е. на

В результате получим

Матрица поворота при этом примет вид

а формулы преобразования координат можно записать в виде

Легко видеть, что. Это значит, что новая система координат (как и старая) – правая.

Дата добавления: 2014-01-20