Четырёхполюсник

Построение математической модели задачи

При постановке задачи должны определяются следующие компоненты:

1. Набор переменных, нахождение наилучших значений которых подлежит определению при решении задачи;

2. Ограничения задачи, которые связывают значения набора переменных (область допустимых значений).

3. Критерии решения задачи, определяющие оценку качества ее решения;

4. Целевая функция, связывающая значения одного критериев или нескольких критериев и значения набора переменных.

Постановка задачи выполняется поэтапно:

- вербальная (словесная) формулировка задачи с обязательным определением набора всех переменных, ограничений (условий) и

критериев;

- список обозначений;

- формирование ограничений (условий) в форме равенств или неравенств;

- запись целевой функции;

- окончательная формулировка задачи.

· Четырёхполюсник и его основные уравнения.

Четырёхполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных зажима. Трансформатор, линии передачи энергии, мостовую схему фильтр и т.п. можно рассматривать как четырёхполюсник.

Рис.1. Четырёхполюсник.

Принято изображать четырёхполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (полюсами) «m», «n», «p» и «q» (рис.1.). Если четырёхполюсник содержи источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставится буква ” А”. И это означает, что четырёхполюсник активный. Если в его составе нет источников энергии, то в прямоугольнике ставится буква “ П ” или ничего не ставится. В этом случае четырёхполюсник пассивный.

Напряжение на входе обозначается, входной ток, напряжение и ток на выходе и. Входные зажимы часто обозначают 1 и 1′, выходные 2 и 2′.

Четырёхполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой (если он пассивный). К входным зажимам, как правило, присоединяется источник питания, к выходным зажимам –нагрузка.

В дальнейшем будет рассматриваться теория пассивного четырёхполюсника.

Предполагается, что нагрузка четырёхполюсника и напряжение на входе при работе четырёхполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырёхполюсника и значения сопротивлений в нём остаются неизменными.

Для любого пассивного линейного четырёхполюсника напряжение и ток на входе и связаны с напряжением и током на выходе и двумя основными уравнениями.

(1)

В этих уравнениях комплексные коэффициенты A11,А12,А21,А22, зависят от схемы внутренних соединений четырёхполюсника, от значений сопротивлений схемы и от частоты. Для каждого четырёхполюсника их можно определить расчётным или опытным путём.

Коэффициенты связаны соотношением:

(2)

Уравнение (1) называют А-формой уравнений четырёхполюсника. Соответствующая схема показана на рис.2.

Рис.2. Четырёхполюсник.

В более ранних учебниках коэффициенты обозначали буквами A,B,C,D. И тогда система уравнений А-формы выглядела так:

(3) (4)

Здесь А=А11, B=A12, C=A21 и D=А22.

В такой форме перепутать коэффициенты практически невозможно.

Уравнения (1) и (3) характеризуют работу четырёхполюсника при питании со стороны зажимов “m” и “n” (рис.2). Направления токов и соответствуют А-форме уравнений четырёхполюсника.

Если источник ЭДС присоединить к зажимам “p” и “q”, а нагрузку к зажимам “m” и “n” (рис.3), то работа четырёхполюсника будет характеризоваться следующими уравнениями:

(5)

Рис.3. Обратное включение четырёхполюсника

Заметим, что уравнение (5) отличается так, что коэффициенты А и D поменялись местами.

Четырёхполюсник называют симметричным, при перемене местами источниками питания и нагрузки токи в источнике питания и в нагрузке не изменяются. В симметричном четырёхполюснике: A=D.

Кроме А-формы существуют ещё пять форм уравнений четырёхполюсника – формы Y,Z,H,G,B (вместо больших букв часто пишут малые y,z,h,g,b).

Для Y-,Z-,H-,G- форм записи направления токов и соответствуют изображённым на рис.4.

Рис.4. Четырёхполюсник для Y-,Z-,H-,G- форм уравнений.

Ниже приводятся формы уравнений:

Y-форма

(7)

Z-форма

(8)

Н-форма

(9)

G-форма

(10)

Для B-формы записи уравнений направления токов и соответствуют изображённым на рис.5.

Рис.5. Четырёхполюсник для B-формы уравнений.

B-форма

(11)

В теории круговых диаграмм применяется А-форма. В теории синтеза - Y- и Z- формы. Параметры схем замещения транзисторов – H- и Z- формы.

В дальнейшем будем использовать А-форму. Для перехода от А-формы к остальным используются формулы:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

· Определение коэффициентов четырёхполюсника.

Если известна схема внутренних соединений четырёхполюсника, то комплексные коэффициенты A,B,C,D можно определить через входные и взаимные комплексные проводимости ветвей, то есть аналитическим путём.

Согласно теореме компенсации заменим нагрузку на рис.2 на ЭДС, направленную встречно току и численно равную (рис.6).

Запишем выражение для токов и через и и входные и взаимные комплексные проводимости ветвей.

Записывается всё так же как на постоянном токе, только расчет ведётся комплексным методом.

(17) (18)

Рис.6. Четырёхполюсник.

Здесь Y11 и Y22 – комплексные входные проводимости относительно входа и выхода четырёхполюсника. Y12=Y21 - комплексная взаимная проводимость между входом и выходом четырёхполюсника.

Из (18) найдём, учитывая, что Y12=Y21, то

(19)

Подставив (19) в (17), получим:

И окончательно:

(20)

Заменив в (19) и (20) на, на, получим:

; (21)

Если схема внутренних сопротивлений неизвестна, то можно эти коэффициенты найти опытным путём. Для этого собирается следующая схема с амперметром, вольтметром и ваттметром (рис.7).

Рис.7. Схема опыта.

Проводятся три опыта:

1. Питание со стороны зажимов, то при разомкнутой ветви ‘pq’ (холостой ход ‘pq’).

;

Основные уравнения четырёхполюсника приобретают вид:

(22)

(23)

Индекс ноль соответствует режиму холостого хода.

по показаниям приборов можно найти модуль входного сопротивления.

(24)

поделив показания вольтметра на показание амперметра.

(25)

поделив показание ваттметра на показания вольтметра и амперметра.

Для определения знака угла параллельно входным зажимам “m” и “n” подключается конденсатор “С” и ключ “K”.

До замыкания ключа амперметр реагирует на ток I. Предположим что четырёхполюсник имеет индуктивный характер, и ток отстает от ЭДС на угол φ.

Рис.8. Векторные диаграммы.

После замыкания ключа “K” появляется ток через конденсатор, который всегда на 90° опережает ЭДС. Теперь амперметр будет реагировать на векторную сумму. Из диаграммы рис.8а видно, что при индуктивной нагрузке показание амперметра уменьшится. Длина суммарного вектора отмечена штриховой линией.

Если же нагрузка ёмкостная, то ток опережает ЭДС на некоторый угол φ. При замыкании ключа “K” показание амперметра увеличивается. На рис.8б видно, что длина суммарного вектора стала больше.

Таким образом, если при замыкании ключа “K” показание амперметра уменьшается, то четырёхполюсник имеет индуктивный характер и знак угла положительный. Если же после замыкания ключа “K” показание амперметра увеличивается, то четырёхполюсник имеет емкостной характер и знак угла отрицательный.

В результате первого опыта мы имеем комплекс

2. Питание со стороны зажимов ‘mn’ при коротком замыкании ветви ‘pq’ (короткое замыкание ветви ‘pq’).

;

Основные уравнения четырёхполюсника приобретают следующий вид:

(26)

(27)

Индекс “к” соответствует режиму короткого замыкания.

По показаниям приборов можно найти:

(28)

поделив показания вольтметра на показания амперметра,

(29)

поделив показание ваттметра на показания вольтметра и амперметра.

Знак угла определяется по показанию амперметра при замыкании ключа K.

В результате второго опыта мы ищем комплексное сопротивление:

3.Питание со стороны зажимов ‘pq’ при коротком замыкании ветви ‘mn’. Практически собранная схема не трогается, а четырёхполюсник переворачивается: зажимы ‘mn’ меняются на ‘pq’.

Это соответствует перемене местами источника питания и нагрузки.

Основные уравнения четырёхполюсника приобретают вид:

(30)

Коэффициенты А и D поменялись местами.

При коротком замыкании ветви ‘mn’. И уравнения четырёхполюсника принимают вид:

(31)

(32)

-это фактически входное сопротивление четырёхполюсника относительно входных зажимов “p” и “q” при коротком замыкании входа. Это сопротивление всегда обозначается.

Таким образом, для определения четырёх неизвестных A,B,C,D три уравнения:

В качестве четвёртого уравнения берём уравнение связи

Составим выражение:

Или

(33)

Составим выражение:

(34)

Перемножим (33) и (34):

(35)

Отсюда:

(36)

А теперь легко можно определить остальные коэффициенты:

; (37)

Следует после этого сделать проверку уравнения связи:

AD-BC=1

Характеристические сопротивления и постоянная передачи четырёхполюсника.

Характеристическим сопротивлением называют отношение входного напряжения к входному току. Со стороны зажимов ‘mn’:

(38)

При питании со стороны зажимов ‘pq’ (при этом учтено, что A и D меняются местами):

(39)

Если симметричный четырёхполюсник (А=D) нагружен согласованно, т.е., то,

;

; (40)

В первом уравнении четырёхполюсника вынесем за скобку:

(41)

Во втором уравнении четырёхполюсника вынесем за скобку:

(42)

Таким образом:

(43)

Из выражения (43) можно получить:

(44)

Где g=a+jb –постоянная передачи четырёхполюсника;

a- Коэффициент затухания;

b- Коэффициент фазы;

Из выражения (44) получаются три способа расчёта постоянной g:

(45)

Постоянная передачи- комплексная величина, равная натуральному логарифму отношения комплекса входного напряжения или тока к комплексу выходного напряжения или тока, т.е. характеризует, как изменяются сигнал по величине и по фазе при прохождении через четырёхполюсник.

(46)

Рис.9. входные и выходные напряжения четырёхполюсника

В общем случае сигнал при прохождении через четырёхполюсник затухает по величине и поворачивается по фазе на некоторый угол (рис.9).

Из выражения (46) видно, что за изменение сигнала по величине отвечает слагаемое.

Перепишем для модулей:

; (47)

Коэффициент затухания- это натуральный логарифм отношения модуля входного напряжения или тока к модулю выходного напряжения или тока, т.е. характеризует, как изменяется сигнал при прохождении через четырёхполюсник по величине.

Если:

Тогда

В этом случае затухание равно одному неперу (а=1 Нп.)

Затуханием в один непер обладает четырёхполюсник, у которого при согласованной нагрузке напряжение на выходе (lne=1).

Очень часто для оценки уровней сигналов используется децибел (Дб).

Таким образом:

1Нп=8.686Дб; 1Дб=0.115Нп. (48)

Коэффициент фазы характеризует, как изменяется сигнал по фазе при прохождении через четырёхполюсник.

Схемы замещения пассивного четырёхполюсника

Любой четырёхполюсник может быть замещён на T-образной или П-образной схемой замещения. На рис.10. изображена Т-образная схема замещения.

Рис.10. Т-образная схема замещения четырёхполюсника

Выразим входной ток через и;

(49)

Сравнивая (49) со вторым основным уравнение четырёхполюсника получим:

(50)

Выразим входное напряжение через и;

(51)

Подставим в (51) выражение (49);

;

(52)

Сравнивая с первым основным уравнение четырёхполюсника, получаем:

(53)

Если известны коэффициенты, то сопротивления Т-образной схемы находятся следующим образом:

; (54)

Если схема симметрична, т.е., то A=D и четырёхполюсник симметричный.

На рис.11. изображена П-образная схема четырёхполюсника.

Рис.11. П-образная схема замещения четырёхполюсника

Проделаем тоже самое для этой схемы:

(55)

Сравнивая с первым уравнением четырёхполюсника, получаем:

(56)

(57)

Подставим (57) в (55):

(58)

Сравнивая со вторым уравнением четырёхполюсника, получим:

; (59)

Обратный переход к сопротивлениям П-образной схемы:

(60)

Если схема симметрична, т.е. =, то A=D и четырёхполюсник симметричный.

Покажем, как определить входные сопротивления четырёхполюсника. Сначала напишем эти сопротивления для Т-образной схемы (рис.10).

; (61)

Индекс ‘ноль’ соответствует режим холостого хода на выходе.

Входное сопротивление относительно зажимов 1 и 1’ и коротком замыкании зажимов 2 и 2’ на выходе:

(62)

Индекс “К” соответствует режиму короткого замыкания на выходе.

Входные сопротивления относительно зажимов 2 и 2’ и холостом ходе на входе схемы:

; (63)

Входное сопротивление относительно зажимов 2 и 2’ и коротком замыкании зажимов 1 и 1’ на выходе четырёхполюсника:

; (64)

Теперь запишем входные сопротивления для П-образной схемы (рис.11).

Входное сопротивление относительно зажимов 1 и 1’ при холостом ходе на выходе:

; (65)

Входное сопротивление относительно зажимов 1 и 1’ и коротком замыкании зажимов 2 и 2’ на выходе:

(66)

Входное сопротивление относительно зажимов 2 и 2’ и холостом ходе на входе схемы:

; (67)

Входное сопротивление относительно зажимов 2 и 2’ и коротком замыкании зажимов 1 и 1’ на входе четырёхполюсника:

; (68)

Несимметричный четырёхполюсник

Если схема несимметрична, то A≠D и тогда через входные сопротивления коэффициенты A,B,C,D рассчитываются по следующим формулам:

(69)

(70)

Если же известны коэффициенты A,B,C,D, то можно найти входные сопротивления по следующим формулам:

(71)

У несимметричного четырёхполюсника два характеристических сопротивления, которые можно рассчитать по следующим формулам:

(72)

(73)

(74)

(75)

Нужно уметь находить постоянную передачи четырёхполюсника двумя способами.

Первый способ.

; (76)

(77)

Второй способ.

Сначала находим thg:

; (78)

И даже постоянную передачи

(79)

Пример. Заданы коэффициенты четырёхполюсника: A=1-j0,5; B=50-j100 (Ом); C=-j0,005; D=0,5. Требуется рассчитать постоянную передачи этого несимметричного четырёхполюсника двумя способами.

Первый способ.

Последним действием градусы переведены в радианы, для чего угол в градусах надо разделить на 57,3, так как 1радиан=57,3°

Здесь коэффициент затухания a=0,241 Нп, а коэффициент фазы b=-0б785 радиана.

Второй способ.

(Ом);

(Ом);

Как видим, обоими способами получили один и тот же результат.

В обоих способах производилось вычисление корня квадратного из комплексного числа. Для этого надо выражение под корнем перевести в показательную форму. Далее извлекается корень квадратный из модуля, а угол делится пополам.

С помощью постоянной передачи легко определить, как изменится сигнал при прохождении через четырёхполюсник.

Например, пусть на входе четырёхполюсника напряжение.

Поэтому

(В)

При прохождении через четырёхполюсник напряжение уменьшилось по величине и угол изменился на 45°(рис.12).

Рис.12. Векторная диаграмма.

Дата добавления: 2014-01-20