Лекция №7. Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины

Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают среднее её за полпериода. Так, среднее значение тока:

(8)

а,

(9)

(10)

Рис.5. Пояснение смысла среднего значения

В выражении (8) определяет площадь положительной полуволны синусоиды. На рис.5 эта площадь обозначена косой штриховкой.

Если эту площадь равномерно распределить на полпериода, что достигается делением интеграла на T/2, то высота полученного прямоугольника и будет среднее значение.

Очень широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины. Его называют также эффективным или среднеквадратичным.

Из математики известно, что среднеквадратичное значение для синусоидального тока определяется следующим образом:

(11)

Получается это так:

(12)

Выражение (12) подставляется в (11) и получается окончательное выражение для действующего значения синусоидального тока.

Аналогично

(13)

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока ,текущего одинаковое время по одному и тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидального тока

(14)

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна

(15)

Приравняем их

,

или

(16)

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока , который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Коэффициент амплитуды и коэффициент формы

Коэффициент амплитуды Ка- это отношение амплитуды периодически изменяющейся функции к её действующему значению. Так, для синусоидального тока

Ка= (17)

Коэффициент формы Кф- это отношение действующего значения периодически изменяющейся функции к её среднему значению за полпериода. Для синусоидального тока

Кф= (18)

Для несинусоидальных периодических токов Каи Кф. Это отклонение косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусоидального.

Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения.

Рис.6. Комплексная плоскость.

На рис.6 дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс откладывается действительная часть комплексного числа, а по оси ординат – мнимая часть. На оси действительных значений ставят значок +1, а на оси мнимых значений – значок +j (j=).

Сразу отметим, что далее пригодится:

j²= - 1; -j²=1; (19)

Из курса математики известно формула Эйлера:

(20)

Комплексное число изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице к составляющим угол α с осью вещественных значений, т.е. с осью +1. Угол α отсчитывается против часовой стрелки от оси +1. Модуль функции равен единице. Действительно:

Проекция функции на ось +1 равна cosα, а на ось +j равна sinα.

Если вместо функции взять функцию , то

(21)

Рис.7. Комплексная плоскость

На комплексной плоскости функция (21) как и функция изобразится вектором под углом α к вещественной оси +1, по величине вектора будет в раз больше.

Угол α в формуле (20) может быть любым. Предположим, что , т.е. что угол α изменяется пропорционально времени.

Тогда:

(22)

Рис.8. Комплексная плоскость.

Слагаемое представляет собой действительную часть (Re) выражения :

, (23)

а, функция представляют собой мнимую часть (Im) выражения :

(24)

Таким образом синусоидально изменяющийся ток i можно представить как мнимую часть вектора , или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора на мнимую ось +j (рис.8).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени . При этом вектор будет

, (25)

где - комплексная величина; модуль её равен , а угол под которым проведён к оси +1 на комплексной плоскости равен начальной фазе ψ.

Величину называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени .

Рассмотрим два примера на переход от мгновенного значения тока к комплексной амплитуде и от комплексной амплитуды к мгновенному значению.

Пример 1. Ток .

Записать выражение комплексной амплитуды этого тока.

Следовательно

Пример 2. Комплексная амплитуда тока Записать выражение для мгновенного значения этого тока.

Согласно формуле (24) записываем

Под комплексом действующего значения тока понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на :

Сложение и вычитание синусоидальных функций времени с помощью комплексной плоскости

Предположим, что необходимо сложить два тока и одинаковой частоты. Сумма их даёт, некоторый ток с такой же частотой.

Требуется найти амплитуду и начальную фазу ψ тока i. С этой целью изобразим ток на комплексной плоскости (рис.9) вектором

а ток - вектором

Геометрическая сумма векторов и даст комплексную амплитуду суммарного тока

,

Амплитуда тока будет определяться длиной суммарного вектора, а начальная фаза ψ-углом, образованным этим вектором с осью +1.

Рис.9. Сложение изображений векторов на комплексной плоскости

Для определения разности двух токов (или ЭДС, напряжений) надо на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание изображений соответствующих векторов.

Обратим внимание на то, что если бы векторы стали вращаться вокруг начала координат с угловой скорость ω, то взаимное расположение векторов по отношению друг к другу осталось бы без изменений.

Поэтому складывать или вычитать можно только те векторы, которые вращаются с одинаковой угловой скоростью ω.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющейся функции ЭДС, токов ветвей, напряжений на элементах схемы одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе.

Мгновенная мощность. Составные элементы цепей синусоидального тока

Протекание синусоидальных токов сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Под мгновенным значением мощности, или мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного значения напряжения и на участке цепи на мгновенные значение тока , протекающего по этому участку:

p=ui (26)

Составными элементами цепей синусоидального тока являются резистор, обладающий активным сопротивлением R, катушка индуктивности L и конденсатор, обладающий ёмкостью С.

На рис.10 показано графическое изображение этих элементов по ЕСКД.

Рис.10. Графическое изображение резистора, катушки индуктивности и конденсатора

Термин “сопротивление” для цепей синусоидального тока недостаточно полный, поскольку сопротивление переменному току оказывают не только резисторы, в которых энергия выделяется в виде теплоты (их называют активными сопротивлениями), но и катушки индуктивности и конденсаторы, в которых энергия не выделяется в виде теплоты, но периодически запасается в магнитном поле катушки индуктивности или в электрическом поле конденсатора. Такие элементы называют реактивными, а их сопротивления переменному току – реактивными сопротивлениями. Таким образом реактивным сопротивлением обладают катушки индуктивности и конденсаторы.

Отсюда ясно, что резисторы активно потребляют энергию от источника и преобразуют её в тепловую энергию. Поэтому говорят: резисторы обладают активным сопротивлением. Катушки индуктивности и конденсаторы не потребляют энергию от источника. Поэтому говорят: катушки индуктивности и конденсаторы обладают реактивным сопротивлением.

Синусоидальный ток в резисторе

На рис.11,а изображён резистор, обладающий активным сопротивлением R, по которому течёт ток . По закону Ома напряжение на резисторе:

U=iR=R= (27)

где

Комплексная амплитуда тока и совпадающая с ней по фазе комплексная амплитуда напряжения изображены на комплексной плоскости (рис.11,б). Получилась векторная диаграмма для данного случая.

Рис.11. Резистор и векторная диаграмма для резистора

а) б)

Подставим мгновенное значение тока и мгновенное значение напряжения и в выражение для мгновенной мощности p (рис.26).

(28)

Таким образом мгновенная мощность имеет две составляющие: постоянную составляющую и переменную составляющую -, изменяющёюся с двойной частотой питающей сети.

Изобразим эти составляющие на графике, а затем их сложим и получим окончательный вид зависимости мгновенной мощности от ωt (рис.12).

На том же графике рис.12 изобразим графики мгновенного значения напряжения и мгновенного значения тока.

Рис.12. Графики мгновенного значения напряжения U, мгновенного значения тока i и мгновенной мощности р при протекании синусоидального тока через резистор.

Из графика мгновенной мощности видно, что ни в одной из моментов времени мгновенная мощность р не принимает отрицательных значений. Этим и объясняется тот факт, что резистор активно потребляет мощность источника и преобразует в тепловые потери.

Дата добавления: 2014-01-20