Понятие о моментах распределения

Построение кривой Лоренца.

Для изучения степени неравномерности распределения определенного суммарного показателя между единицами отдельных групп вариационного ряда в статистике может быть использована кривая Лоренца (концентрации) и рассчитанный на ее основе коэффициент Джини.

Рассмотрим построение кривой Лоренца на следующем примере:

имеется следующее распределение городов по числу жителей и распределение населения в этих городах:

Города с числом жителей (тыс. чел)	Число городов (% к итогу)	Численность населения (% к итогу)	Кумулятивные итоги
ωi	yi
до 3	4,2	0,2	4,2	0,2
3-5	4,6	0,3	8,8	0,5
5-10	13,1	1,7	21,9	2,2
…..	…..	…..	…..	…..
500 и выше	1,7	32,1
Итого:			–	–

В колонках 4 и 5 рассчитаны кумулятивные итоги процента городов и населения в них. Чтобы графически показать неравномерность распределения строим квадрат 100х100, на оси абсцисс откладываем значения ω_i, на оси ординат значения y_i, далее по точкам выстраиваем перпендикуляры к осям, затем по этим же точкам вычерчиваем кривую Лоренца.

S₁

S₂

ω_i

y_i

Если бы каждому проценту накопленных значений соответствовал такой же процент накопленных y_i, то все точки расположились бы по диагонали квадрата, и это означало бы равномерное распределение.

Чем больше фактическое распределение 2-х показателей отклоняется от равномерного, тем больше кривая Лоренца удалена от диагоналей квадрата, следовательно, чем больше это удаление, тем выше концентрация изучаемого показателя.

Если значение признака в группах даны в порядке убывания, то построенная по таким данным кривая Лоренца будет расположена выше диагоналей квадрата.

Для количественного измерения степени концентрации имеется ряд показателей. Наиболее часто для этих целей используют коэффициент Джини, который представляет собой отношение площади S₁ ограниченной линией равномерного распределения (диагональю квадрата) и кривой Лоренца к половине площади квадрата (S₁ + S₂), т.е. коэффициент Джини равен:. Если площадь S₁ + S₂ = 0,5 → S₁ = 0,5 – S₂, и тогда коэффициент Джини будет равен:. Это отношение можно определить приближенно:

.

Если пользоваться не кумулятивными долями а процентами, то результат вычисления нужно разделить на 10000.

В математической статистике под моментом k-го порядка понимается среднее арифметическое k-ой степени отклонения отдельных вариантов от какой-то постоянной величины A. Если A – любое произвольное число, то момент k-го порядка можно записать в общем виде:.

Если принять, что A = 0, то момент называетсяся начальным и определяется в общем виде формулой:.

Начальный момент первого порядка равен среднему арифметическому. Начальные моменты 2, 3, 4-го порядков не имеют самостоятельных значений, а используются для упрощения вычисления центральных моментов. Обычно при анализе рядов распределения ограничиваются расчетом первых 4-х порядков.

Если (среднему арифметическому), то момент называется центральным и определяется по формуле:.

Центральный момент первого порядка равен нулю, второго порядка – дисперсии. Центральный момент третьего порядка служит мерой асимметрии распределения, т.к. для симметричных рядов всегда:. Центральный момент четвертого порядка служит для вычисления показателя эксцесса.

Чтобы можно было сравнить асимметричность в разных рядах, центральный момент 3-го порядка сопоставляется со средним квадратическим отклонением (С.К.О.) в кубе. Найденное отношение, называемое нормированным моментом 3-го порядка, принимается в качестве показателя асимметрии:, где A_s –коэффициент асимметрии Пирсона; – среднее арифметическое; М_о – мода; δ – С.К.О.

При симметричном распределении A_s = 0. Если A_s > 0, то это правосторонняя асимметрия, если A_s < 0 – левосторонняя. A_s может изменяться от –3 до +3.

Для симметричного распределения может быть рассчитан показатель эксцесса:. Если E_x = 0, то распределение будет симметричным, если E_x < 0, то распределение плосковершинное, если E_x > 0 – островершинное.

Дата добавления: 2014-01-20