Поэтому и математическая модель – отображение

С точки зрения математики - модель – это отображение.

Например, манекен – отображение человека, географическая карта – отображение рельефа.

Развитие и уточнение понятия отображения играет важнейшую роль в математике. Частный случай отображения – функция. Другой частный случай - функционал.

Функция – когда числу соответствует число. Функционал – кривой соответствует число.

Например, каждому автомобильному маршруту соответствует определенное количество литров бензина.

Функция – это закон (алгоритм), который связывает независимую переменную и зависимую. Независимая переменная может принимать значение из какого-то диапазона, произвольно (случайно), зависимая обязана следовать закону. Константы образуют упорядоченные множества, то есть их константы можно сравнивать непосредственно. Сравнение переменных происходит более затейливо.

Знаем нужные числовые значения (константы)? Зная их, можем оказать предпочтение в пользу некоего числа и сделать выбор, то есть принять решение.

Знаем функцию – можем предсказывать наперед и, следовательно, принимать упреждающие решения.

Но как узнать функцию, если она непосредственно не задана (неизвестна)?

Задача нахождения неизвестных, нужных для предсказания функций очень важна.

Очень часто из наблюдений удаётся установить связь между переменными и окрестностями их изменений в каждый момент времени. Например:

- уравнение для падающего парашютиста;

– уравнение для размножающихся микробов в пробирке.

Уравнение, которое на основании законов физики, химии, биологии и т.д. связывает какие-то неизвестные функции времени и координат с их скоростями и ускорениями, называются дифференциальными.

Дифференциальное уравнение можно составить, только если наблюденный закон природы таков, что на неизвестную функцию в самом ближайшем будущем влияет только состояние в самом ближайшем прошлом и в самой ближайшей окрестности (когда рассматриваем окрестность в пространстве координат).

К счастью, многие явления природы именно таковы, и поэтому для них можно составить дифференциальные уравнения.

Самое простое (проще быть не может) дифференциальное уравнение имеет вид:

где x(t) – неизвестная функция, f(t) – известная.

Чтобы его решить – надо найти интеграл:

Это неопределенный интеграл, который задает семейство функций. График каждой функции из семейства называется интегральной кривой. Каждая интегральная кривая удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению, то есть превращает его в верное равенство, то есть является решением.

Отсюда пошла традиция даже гораздо более сложных уравнений, которые невозможно выразить через интегралы, всё равно называть интегральными кривыми (точнее, было бы сказать, их график).

Разным начальным условиям соответствуют разные интегральные кривые.

Если небольшая разница в начальных условиях приводит со временем к очень большой разнице в интегральных кривых, то такое решение называется неустойчивым (рис 1).

Его предсказательная ценность гораздо меньше, чем у устойчивого решения.

Устойчивое решение – такое, что небольшая разница в начальных условиях не передает большую разницу в интегральных кривых со временем (рис 2).

Устойчивые решения выступают как модели стационарных производственных процессов, неустойчивые – как модели катастроф.

рис. 1 рис. 2

Дифференциальные уравнения могут иметь самый разный вид.

Мы остановимся на ОДУ. Они содержат производные только по одной переменной. Чаще всего эта переменная время.

ОДУ легко можно привести к системе нескольких уравнений 1-го порядка. Это наиболее удобный для исследования вид, который к тому же позволяет легко исследовать численные методы.

Для большинства ОДУ построить такие решения, которые были бы комбинациями элементарных функций, не удается.

Но численными методами можно построить интегральные кривые практически для любых начальных условий и для любых интегральных с точки зрения ОДУ.

Как использовать ОДУ с точки зрения катастроф?

Поясним примером. Допустим, есть химическое производство, которое характеризуется:

- выходом готового продукта x₁ (кг/с);

- давлением в реакторе x₂ (ГПа);

- температурой в реакторе x₃ (^OK)/

И уравнения можно записать в виде системы:

Стационарный, то есть обычный, производственный процесс характеризуется:

И от времени f₁, f₂, f₃ явно не зависят. То есть.

Равновесные значения найдутся как решения алгебраической системы уравнений:

Но идеального равновесия не бывает. Переменные можно представить как:

где – функции времени, которые являются очень малыми отклонениями от равновесия (они называются случайными возмущениями). Для их производных получим:

Вопрос в том, будут ли эти возмущения нарастать?

В окрестности равновесия функции f₁, f₂, f₃ можно разложить в ряды Тейлора:

Итого получим систему ОДУ:.

Здесь все частные производные соответствуют конкретной точке, а именно положению равновесия, следовательно, равны константам. – переменные, но малые. Малыми второго порядка малости пренебрегаем. Если отклонения затухнут, то более малые затухнут и подавно.

Значит, чтобы выяснить отсутствие катастрофы, надо исследовать вопрос: при каком наборе констант i,j =1, 2, 3 соответствующих решению последняя система ОДУ с постоянными коэффициентами имеет затухающие решения?

Нам нужно чтобы отклонение от точки в трехмерном пространстве было мало. То есть, чтобы было бы мало.

То есть, r(t) должно не вырастать. Но это положительная величина, и ее минимальное значение r²(t)=0.

Чтобы эта положительная величина не возрастала, ее скорость должна быть отрицательной:

Положительная скорость увеличивает пройденный путь, отрицательная (задний ход) его уменьшает.

Как эти рассуждения использовать для исследования устойчивости? А вот как:

Домножим 1-е уравнение (*) на

2-е уравнение (*) на

3-е уравнение (*) на

и результат сложим:

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых переменных, получим:

В правой части уравнения (**) мы получили функцию, которая содержит квадраты переменных и произведения всех возможных пар этих переменных. Такая функция называется квадратичной формой.

И эта функция должна быть отрицательной для любых, чтобы случайные отклонения не нарастали, а всегда убывали со временем. Когда она отрицательна для любых значений, она называется отрицательно определенной, а когда она положительна для любых значений, то она называется положительно определенной.

Отрицательно определенной квадратичной форме соответствует заведомо устойчивый стационарный процесс, а положительно определенной – заведомо неустойчивый.

Когда исследуемая квадратичная форма положительно определенная(катастрофа), а когда отрицательно определенная (нормальный режим)?

Ответ на этот вопрос даёт известный из математики критерий Сильвестра.

Чтобы использовать его для нашей задачи, обозначим

Из коэффициентов составим симметричную матрицу:

Критерий Сильвестра гласит:

Квадратичная формула (**) будет отрицательно определенной (всегда < 0), если:

То есть знаки главных миноров матрицы чередуются, у нечетных миноров – отрицательные, у четных – положительные.

Это признак устойчивого стационарного решения.

И критерий Сильвестра также гласит:

Квадратичная форма (**) будет положительно определенной, если все главные миноры > 0. То есть в приведенных трех неравенствах все определители больше нуля.

Это признак катастрофы. Малейшие отклонения переменных уведут систему далеко от положения равновесия.

Пример:

Особые точки находим из уравнений

Это будут:

-2x=0;

Матрица

Значит, точка x=0, y=0 устойчива.

Дата добавления: 2014-01-20