Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условия равенства определителя нулю

Лекция 5

Ошибки статистического наблюдения и контроль его данных

Ошибками стат. наблюдения называются расхождения между установленными статистическим наблюдением и действительными значениями изучаемых величин.

Ошибки подразделяются на:

§ Ошибки регистрации (свойственны любому виду, способу и форме стат. наблюдения) – возникают в следствии неверной регистрации наблюдаемых фактов или их ошибочной записи.

§ Ошибки репрезентативности (представительности) – свойственны только выборочному наблюдению.

По характеру возникновения ошибки могут быть:

§ случайные (оговорка, описка);

§ систематические (сознательное искажение данных о доходе населения, прибыли предприятия, недостаточная квалификация, усталость, неисправность измерительных приборов).

Систематические ошибки делятся на преднамеренные и не преднамеренные.

Способы контроля данных.

1. Синтаксический (внешний) контроль – проверка правильности структуры документа, наличия необходимых реквизитов, проверке оформления документов на предмет наличия и четкости всех необходимых записей, анализ полноты материала и охвата всех отчетных единиц наблюдения.

2. Логический контроль – сопоставление ответов на взаимосвязанные вопросы статистического формуляра с целью выявления логически несовместимых ответов.

3. Арифметический (счетный) контроль – проверка правильности арифметических итогов показателей, содержащихся в отчетности. (данные годовых отчетов проверяют данными квартальных отчетов).

Рассмотрим матрицу , , :

Определение 1. Если матрица А – нулевая, то ранг матрицы А равен 0. Если же матрица А – ненулевая, то рангом матрицы А называется минимальный порядок минора, не равного 0.

Обозначение: r(A), Rang A

Примеры: 1. r

2. r, т.к. существует ненулевой минор порядка 1 (например, расположенный в верхнем левом углу), а все миноры второго порядка равны 0.

Определение 2. Ненулевой минор порядка, равного рангу матрицы, называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Замечание. Базисных миноров может быть несколько. Фиксируя новый минор в качестве базисного, мы тем самым получаем новые базисные строки и столбцы.

Пример. Из определения ранга матрицы следует, что вычисление ранга матрицы следует вести постепенно, повышая порядок вычисляемых миноров. Например, найдем ранг матрицы А:

; ; ; ;

; ; .

Видим, что существует минор 2-ого порядка, не равный 0, а все миноры 3-го порядка равны 0. Следовательно, Rang A=2.

Теорема. (о базисном миноре) Базисные строки (столбцы) образуют линейно независимую систему. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Доказательство. Пусть Rang A=r. Докажем теорему для столбцов, для строк все доказательство проводится аналогично.

Пусть для определенности базисный минор (ненулевой минор порядка r) расположен в верхнем левом углу матрицы А. Если это не так, переместим базисный минор в верхний левый угол, переставляя строки и столбцы матрицы (очевидно, что ранг матрицы А при таких преобразований матрицы не изменится).

Пусть базисный минор

Все миноры порядка выше r равны 0. Предположим, что базисные столбцы образуют линейно зависимую систему. В этом случае базисный минор ∆ состоял бы из столбцов, один из которых является линейной комбинацией остальных столбцов этого минора. Следовательно, в этом случае, в силу свойств определителей, получили бы, что Полученное противоречие доказывает, что базисные столбцы не могут образовывать линейно зависимую систему.

Докажем, что небазисные столбцы есть линейная комбинация базисных. Докажем это для l го столбца (). Рассмотрим вспомогательные определители порядка (r+1) вида:

Имеем:

1) для , т.к. определитель содержит две одинаковых строки; 2) для , так как в этом случае есть минор порядка (r+1) го порядка матрицы А, а все миноры порядка, большего, чем r, должны быть равны 0 (т.к. Rang A=r). Отсюда: =0 для . Выпишем разложение определителя по i той строке:

, .

Здесь алгебраические дополнения к элементам (r+1) й строки определителя , они не зависят от номера i. Из последних равенств выражаем элементы l го столбца:

m равенств.

Следовательно,

Следовательно, l й столбец (l > r) есть линейная комбинация базисных столбцов , взятых с коэффициентами

▲

Замечание. В доказательстве теоремы о базисном миноре используются только миноры, окаймляющие (т.е. содержащие в себе) базисный минор. Отсюда получаем метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Пример. Вычислим ранг матрицы А, используя метод окаймляющих миноров:

Фиксируем минор 1-го порядка, не равный 0: Окаймляем его: находим минор 2го порядка, не равный 0, окаймляющий минор :

Выпишем и вычислим миноры 3го порядка, окаймляющие ненулевой минор :

Так как все окаймляющие миноры 3го порядка равны 0, делаем вывод, что Rang A=2.

Дата добавления: 2014-01-20