Введение

Рассмотрим теперь примеры линейных пространств функций. Сделаем сначала некоторые общие замечания. Пусть — некоторое множество элементов произвольной природы, и пусть каждому поставлен в соответствие элемент линейного пространства , т. е. задана функция с областью определения и с областью значений в . Под суммой двух таких функций и будем понимать функцию . Под произведением функции на число будем понимать функцию .

В предлагаемых ниже примерах рассматриваются функции с вещественными или комплексными значениями, т. е. — вещественная ось или комплексная плоскость. Как и выше, операции над такими функциями сводятся к операциям над вещественными или комплексными числами. Фиксируя и выбирая тот или иной класс функций, мы автоматически получим выполнение аксиом линейного пространства, если только и принадлежат выбранному классу функций вместе с и .

Пример 6. Рассмотрим пространство всех многочленов степени, не превышающей : (— произвольные вещественные числа, . Поскольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочле­нами, мы получаем линейное пространство многочленов.

Точно так же можно рассмотреть комплексное линейное пространство многочленов степени не выше . Его элементы имеют вид (— комплексные числа, —комплексная переменная, изменяющаяся на комплексной плоскости ).

Пример 7. Пространство непрерывных функций . Пусть . Берем всевозможные непрерывные на функции . Так как непрерывна на , как сумма непрерывных функций, и также непрерывна, то является линейным пространством. Возможны вещественный и комплексный случаи.

Пример 8. Пространство (— натуральное число) — пространство раз непрерывно дифференцируемых функций. Поскольку , если , и , если и , то — линейное пространство.

Пример 9. Рассмотрим множество всех прямоугольных матриц порядка со скалярными элементами

Определим в операции

Поскольку операции над матрицами сводятся к операциям над числами, то справедливость аксиом очевидна. Если элементы матриц искаляры вещественны (комплексны), то мы приходим к вещественному (комплексному) линейному пространству.

В дальнейшем мы встретимся и с другими примерами линейных пространств.

Дата добавления: 2014-01-20