Угол между векторами

Неравенство треугольника

Неравенство Коши-Буняковского

Длина вектора

Определение 1. Длиной (модулем) вектора в евклидовом пространстве называют корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя и обозначают, так что

(3.4)

Всякий вектор евклидова пространства имеет длину. У нулевого вектора длина равна нулю, у всякого другого – положительна. Вектор называют нормированным, если его длина равна единице. Легко видеть, что если любой ненулевой вектор умножить на число, то вектор, имеет длину, равную единице. Эту операцию получения нормированного вектора называют нормированием.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для множества свободных векторов введенное определение длины вектора совпадает с обычным понятием длины вектора.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц выражение для длины вектора

имеет вид

.

Теорема. В евклидовом пространстве скалярное произведение произвольных векторов и не превышает произведения длин этих векторов, т. е. имеет место неравенство

(3.5)

Заметим, что неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. Для доказательства неравенства (3.5) заметим, что в согласии с условием 4 определения евклидова пространства, можем написать

(3.6)

где – любое вещественное число. Используя дважды условие 2, можем написать левую часть неравенства (3.6) в виде

Воспользовавшись теперь условием 3, получим

Обратившись к условию 1, запишем неравенство (3.6) окончательно в виде

В левой части последнего неравенства стоит квадратный трехчлен относительно. Так как этот трехчлен неотрицателен при любом, то его дискриминант не может быть положительным, т. е.

Записав последнее неравенство в виде

и извлекая, квадратный корень из обеих частей неравенства, получим (3.5).

Для произвольных векторов и евклидового пространства выполняется неравенство

, (3.7)

называемое неравенством треугольника.

Для доказательства справедливости (3.7) заметим, что квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя, т. е.

(3.8)

Обращаясь последовательно к условию 2 в определении евклидова пространства два раза, а затем к условию 1, можем написать

Используя неравенство Коши-Буняковского, получим

(3.9)

Из сравнения (3.8) и (3.9) следует справедливость (3.7). Заметим, что если и означают векторы, изученные ранее в курсе геометрии, то неравенство (3.7) означает, что длина стороны треугольника не больше суммы длин других его сторон.

Вначале заметим, что на основании неравенства Коши-Буняковского можно утверждать, что величина меньше 1.

Поэтому можно ввести следующее определение.

Определение 1. Углом между векторами и называют такое число (от до), для которого выполняется равенство

(3.10)

Определение 2. Векторы и называются ортогональными, если выполнено равенство

(3.11)

Если и – оба ненулевые, то это определение означает, что угол между и равен. Нулевой вектор, по определению, считается ортогональным любому вектору.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В пространстве векторов, изученных ранее в курсе геометрии, скалярное произведение определено известным образом. Орты попарно взаимно ортогональны.

Пример 2. В евклидовом пространстве одностолбцовых матриц, в котором скалярное произведение определено равенством (3.3), векторы

и

ортогональны.

Дата добавления: 2014-01-20