Виды случайных событий. Операции над ними

Определение 3. Событие называется достоверным Ω, если оно обязательно произойдет (оно содержит все возможные элементарные исходы испытания), и невозможным , если оно никогда не произойдет в результате испытания (не содержит ни одного элементарного исхода.

Пример 2. Испытание состоит в однократном подбрасывании игральной кости с шестью гранями. Тогда событие, состоящее в выпадении не менее одного очка, является достоверным, а событие, состоящее в том, что выпало семь очков – невозможным.

Определение 4. События А и В называются несовместными, если они не могут появится в одном испытании. Если событий больше двух, они могут быть попарно несовместными, если любые два из них несовместны. События A и B называются совместными если они могут произойти вместе в одном и том же испытании.

Пример 3. Испытание состоит в однократном подбрасывании игральной кости с шестью гранями. Тогда пространство элементарных исходов имеет вид , где - выпадение очков. Событие A – появление трех очков, т.е. , событие B – появление четного числа очков, т.е. , С – появление нечетного числа очков, т.е. . События A и С совместны, поскольку имеют общий элементарный исход . События A и В несовместны, у них нет общих элементарных исходов. События В и С также являются несовместными.

Определение 5. Если при каждом испытании, при котором происходит событие A, происходит и событие B, то говорят, что A влечет за собой событие B (входит в В) или В включает событие А и обозначают . Если одновременно и , то в этом случае события A и B называются равносильными.

Определение 6. Противоположным событию А называется событие , состоящее в не появлении события А. Очевидно, что события А и несовместны.

Определим теперь операции между двумя событиями A и B из некоторого пространства элементарных событий Ω.

Определение 7. Суммой двух событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий, т.е. оно состоит из элементарных исходов, принадлежащих событию или событию .

Пример 4. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.

Определение 8. Произведением двух событий называется событие, состоящее в наступлении каждого из этих событий (состоит из элементарных исходов, принадлежащих одновременно событиям А и В).

В примере 4 событием будет попадание обоих стрелков.

Пример 5. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из колоды дамы пик.

Определение 9. Разностью событий A и B назовем событие AB, происходящее тогда и только тогда, когда произошло А, но не произошло B.

В примере 5 АВ – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме дамы. Наоборот, ВА – извлечение дамы любой масти, кроме пик.

Дадим геометрическую интерпретацию основных действий над событиями с помощью диаграмм Венна.

Свойства операций над событиями:

1) , - коммутативность;

2) , - ассоциативность;

3) - дистрибутивность;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) .

Замечание: События А и В несовместны тогда и только тогда, когда .

Определение 10. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Определение 11. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Т.е. под равновозможными понимают события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одного перед другим.

Примеры равновозможных событий: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броске монеты и т.п.

3. Классическое определение вероятности .

Определение 12. Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем исходами, благоприятствующими этому испытанию.

Если элементарные события равновозможные и образуют полную группу попарно несовместных событий, то справедливо следующее определение вероятности.

Определение 13. Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех исходов данного испытания, т.е.

. (1)

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события Ω равна единице.

Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате испытания, то все исходы этого испытания являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно исходя из (1), Р(Ω) = 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство. Для невозможного события ни один исход испытания не является благоприятным, поэтому т = 0 и на основании формулы (1) имеем P( ) = 0.

3. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых благоприятствующих исходах испытания , удовлетворяющих неравенству (0 – для невозможного события и – для достоверного), и из (1) следует, что .

События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются практически невозможными или практически достоверными событиями.

Пример 6. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Будем считать элементарными событиями, или исходами испытания, извлечение из урны каждого из имеющихся в ней шаров. Очевидно, что эти события удовлетворяют всем условиям, позволяющим применить классическую схему. Следовательно, число возможных исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появлению белого шара) – 6 (таково количество белых шаров в урне). Значит, .

Дата добавления: 2014-01-20