Обобщенный МНК

Рассмотрим отдельно две важные предпосылки МНК: гомоскедастичность и отсутствие автокорреляции остатков. Взяв n наблюдений, для каждого из них можно получить регрессионный остаток ε₁, ε₂, …, ε_n. Каждый из этих остатков сам по себе является случайной величиной. Для этих случайных величин можно построить ковариационную матрицу, на диагонали которой будут стоять дисперсии остатков, а остальные элементы будут представлять собой ковариации между ними (матрица симметрична относительно главной диагонали):

(2.15)

Если остатки гомоскедастичны, то элементы на главной диагонали этой матрицы будут равны между собой. Если автокорреляция остатков отсутствует, то ненулевые элементы этой матрицы могут стоять только на главной диагонали. Существенное отличие любого другого элемента матрицы (2.15) от нуля означает, что регрессионные остатки коррелируют.

Как уже было сказано, гетероскедастичность и автокорреляция остатков приводят к тому, что оценки, полученные МНК, будут неэффективными. Исключить то и другое можно с помощью модификации МНК – обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК), суть которого сводится к тому, что при нахождении вектора параметров А используют не формулу (2.10), а следующую формулу:

(2.16)

А = (X^ТΩ^-1X)^-1X^ТΩ^-1Y,

где Ω^-1 – матрица, обратная ковариационной матрице Ω.

Можно доказать, что при использовании этой формулы оценки будут обладать свойством эффективности (теорема Айткена). Доказательство можно найти, например, в [Яновский Л.П., Буховец А.Г. Введение в эконометрику: уч. пособие – 2-е изд., доп. – М.: Кнорус, 2007. – 256 с.].

Дата добавления: 2014-01-11