Общие понятия о системах уравнений, используемых в эконометрике

Построение систем эконометрических уравнений

В экономике достаточно распространены случаи, когда для описания экономической ситуации во всем многообразии ее сторон целесообразно использовать не одно уравнение регрессии или тренда, а систему математических уравнений. Такие системы называют системами эконометрических уравнений (СЭУ).

Система эконометрических уравнений представляет собой систему взаимосвязанных уравнений, описывающих экономическую ситуацию.

Преимущества использования систем эконометрических уравнений перед отдельными уравнениями регрессии:

1) позволяют одновременно моделировать несколько результативных признаков;

2) позволяют моделировать взаимосвязи между переменными, которые не могут быть отражены в рамках одного уравнения.

Классификация систем эконометрических уравнений (СЭУ) - классификационные признаки

СЭУ можно классифицировать по различным признакам:

1) по числу уравнений в системе;

2) по числу результативных и факторных переменных;

3) по виду используемых функций;

4) по идентифицируемости (см. далее);

5) по характеру взаимосвязи между уравнениями;

6) по наличию в системе тождеств (см. далее);

7) и т.д.

Три класса систем эконометрических уравнений

Классификацию СЭУ по характеру взаимосвязи между уравнениями рассмотрим более подробно. По этому признаку СЭУ делят на три основных класса:

I. Системы независимых уравнений (внешне не связанных уравнений) – это СЭУ, в которых для каждой результирующей переменной строится отдельное уравнение, причем все они зависят от одних и тех же факторов.

y₁ = f₁(X) + ε₁

(6.1)

y₂ = f₂(X) + ε₂

_…

y_n = f_n(X) + ε_n,

где n – число уравнений;

y_i - результативные признаки;

X = (x₁, x₂, …, x_m) - признаки-факторы;

m - число факторов;

f_i(X) – линейные уравнения регрессии;

ε_i - случайные компоненты.

Независимые уравнения могут рассматриваться по отдельности, и параметры каждого из них могут быть найдены ранее изученными способами (можно применять МНК).

II. Системы рекурсивных уравнений – это системы последовательных уравнений, каждое следующее из которых в качестве факторных признаков использует в том числе результативные признаки предыдущих уравнений.

y₁ = f₁(X) + ε₁

(6.2)

y₂ = f₂(X, y₁) + ε₂

y₃ = f₃(X, y₁, y₂) + ε₃

_…

y_n = f_n(X, y₁, y₂, …, y_n-1) + ε_n,

Рекурсивные уравнения также могут рассматриваться по отдельности, с нахождением параметров каждого из них ранее изученными способами (МНК).

III. Системы взаимозависимых уравнений – это СЭУ, в которых одни уравнения используют в качестве признаков-факторов как факторные, так и результативные признаки, используемые в других уравнениях.

При этом если во взаимозависимых уравнениях нельзя выявить рекурсивную последовательность такого использования, то уравнения уже не могут быть рассмотрены по отдельности. Можно доказать, что попытка применения МНК в данном случае приведет к получению смещенных и несостоятельных оценок параметров; поэтому для нахождения параметров здесь используются различные модификации МНК (см. далее).

y₁ = f₁(X, Y) + ε₁

(6.3)

y₂ = f₂(X, Y) + ε₂

_…

y_n = f_n(X, Y) + ε_n,

где Y = (y₁, y₂, …, y_n) – результативные признаки.

Отметим, что здесь результативные переменные одновременно рассматриваются и как результативные, и как факторные.

Такие системы уравнений по-другому называют системами совместных или системами одновременных уравнений (СОУ).

СОУ может включать не только регрессионные уравнения, но и математические соотношения между переменными, которые должны выполняться во всех случаях (не содержат случайных компонент и подлежащих оценке параметров). Регрессионные уравнения в СОУ принято называть поведенческими уравнениями, а уравнения, не содержащие случайной компоненты – тождествами. Примером может служить известная модель Кейнса[1], которая описывает экономику без государственного вмешательства:

(6.4)

C_t = a + βY_t + ε_t

Y_t = C_t + I_t

где C_t - потребление в период t;

Y_t - валовой национальный продукт в период t;

I_t - инвестиции в период t;

a и β– параметры регрессионного уравнения;

ε_t - случайная компонента.

В этой модели присутствует одно поведенческое уравнение – функция потребления, описывающая связь между эндогенными переменными C_t и Y_t; а также так называемое макроэкономическое тождество, согласно которому сумма инвестиций и потребления равна всей величине национального продукта.

Дата добавления: 2014-01-11