Схемы замещения пассивных элементов на низких частотах

1)

Резистор 2) реальная индуктивная катушка

3) реальный конденсатор

1.5.3. Идеальные источники энергии

1. идеальный источник ЭДС – источник, напряжение на зажимах которого не зависит от тока.

внешняя характеристика u

R_i – внутреннее сопротивление

источника R_i=0

i

2. идеальный источник тока – источник, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах.

G_{(проводимость)}=1/R G_i=0 u

R_i=¥

i

J

1.5.4. Схемы замещения источников

2. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

2.1. Основные законы электрических цепей

2.1.1. Закон Ома

а) для пассивного участка цепи:

u ₁₂= iR; I=u₁₂/R

б) для активного участка цепи:

j

j₃=0

₂=j₃- e; j₁=j₂+ iR (ток от большего потенциала к меньшему) u₁₃= j₁-j₃= iR-e;

- закон Ома для активного участка цепи с источником ЭДС

i+j=i_R i=i_R-j=

Обобщенный закон Ома для обобщенного участка цепи:

2.1.2. Законы Кирхгофа

1-й закон Кирхгофа:

1) Алгебраическая сумма токов в угле равна нулю.

Правило знаков: токи, втекающие в узел берутся со знаком «-», а вытекающие со знаком «+». ПРИМЕР: -i₁-i₂+i₃+i₄-i₅-i₆=0

2) Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов из узла вытекающих:

ПРИМЕР: i₁+i₂+i₅+i₆=i₃+i₄

Второй закон Кирхгофа:

1). Алгебраическая сумма напряжений на элементах контура равна нулю.

2). Алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме э.д.с. контура.

Правило знаков: напряжения и э.д.с. берутся со знаком «+», если они совпадают с направлением обхода.

2.2. Методы преобразования электрических цепей

1) Последовательное соединение элементов.

2) Параллельное соединение элементов.

3) Смешанное последовательно-параллельное соединение элементов.

4) Преобразование треугольника сопротивлений в звезду и наоборот.

5) Преобразование n – параллельных ветвей в одну.

J_i=E_i/R_i

J_i=E_iG_i

J_э=å J_i = G_э=

E_Э=J_э/G_э=J_эR_э

6) Перенос источника ЭДС.

Схемы эквивалентны. Проверка II – закона Кирхгофа, записанный для любого контура 1 и 2 схемы.

6)

7)

8)

9) Перенос источника тока.

2.2.Методы анализа разветвленных цепей

2.2.1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа.

Определяем топологические характеристики цепи: ветвей – 3; узлов – 2.

1) Количество уравнений, составляемых по закону Кирхгофа равно число ветвей минус число ветвей с источником тока: n=в-в_и в_и=0 => n=3

2) Произвольно указываем направление токов в ветвях.

3) Число независимых уравнений, составляемых по I – закону Кирхгофа

n₁=y-1

Записываем уравнение по 1 закону Кирхгофа:

–I₁+I₂+I₃=0

4) Число независимых уравнений, составляемых по II закону Кирхгофа

n_II=n-n_I => n_II=2.

Выбираем независимые контуры (контуры, включающие хотя бы одну новую ветвь). Произвольно указываем направление обхода контура. Записываем уравнение по второму закону Кирхгофа.

I₁R₁+I₃R₃=E₁;

I₂R₂-I₃R₃= -E₂

5) Решаем систему уравнений, находим неизвестные токи. Если значение токов получилось отрицательным, то на схеме меняем его направление на противоположное.

2.2.2. Метод наложения

Рекомендуется применять для цепей с малым количеством источников. Число уравнений, составляемых по данному методу, равно числу источников.

Считаем, что каждый источник действует независимо от других. Рассчитываем токи, вызванные действием каждого источника в отдельности (частичные токи). Результирующий ток определяется как алгебраическая сумма частичных токов.

;

;

; ;

2.2.3. Метод контурных токов

Метод рекомендуется использовать для цепей, в которых количество независимых контуров меньше количества узлов. Число уравнений, составляемых по этому методу, равно числу уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

N_кт=N_II=N-N_I. Контурные токи – расчетные токи, текущие по всем ветвям выбранного контура. Действительные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов. Направление контурных токов и направление обхода контура выбирается произвольно. Для каждого контура записывается уравнение по II – закону Кирхгофа.

Контурный ток k-го контура определяется как:

Где: D - главный определитель системы уравнений.

D_nk – алгебраическое дополнение определителей, которое получается вычеркиванием n – ой строки, k – го столбца и умножением полученного минора на (-1)^п+k.

Действительное значение тока в ветви определяется как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в данной ветви.

; ; .

2.2.4. Метод узловых потенциалов

Используется для цепей с большим количеством ветвей и малым количеством узлов. Число уравнений по этому методу, равно числу уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа.

п_уп=у- 1=3;

Заземляем четвертый узел, j₄=0.

Записываем уравнение по I – закону Кирхгофа. Для 1, 2, 3 узлов:

«1» -I₂+I₁+I₄-I₅+I₆=0

«2» -I₁+I₂+I₃-J₂=0 (1)

«3» J₂-I₃-I₄+I₇-J₁=0

Каждый ток расписываем по обобщенному закону Ома:

I₁=(j₁-j₂+E₁)G₁; I₂=(j₂-j₁)G₂;

I₃=(j₂-j₃+E₃)G₃; I₄=(j₁-j₃-E₄); I₅=(-j₁+E₅)G₅; I₆=j₁G₆; I₇=j₃G₇.

Подставляем токи из системы 2 в систему 1. Раскрывая скобки, приводим подобные и получаем следующую систему.

- сумма проводимости ветвей сходящихся в n – м узле.

G_пк – сумма проводимостей ветвей, соединяющих п – й и к – й узел, взятая со знаком «-». G₁₂=G₂₁=-(1/R₁+1/R₂); G₂₃=G₃₂=-(+1/R₃); G₁₃₌G₃₁=-1/R₄.

I_nn – узловой ток. Равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимость ветви и сумме токов источников тока.

«+» ставится, если ЭДС или источник тока направлен к п – му узлу.

I₁₁=-E₁G1+E₄G₄+E₅G₅; I₂₂=J₂-E₃G₃+E₁G₁; I₃₃=J₁-J₂+E₃G₃-E₄G₄

2.3. Входные и взаимные проводимости ветвей

В цепи только один источник, выделяем ветвь с источником.

; - контурные токи.

;- взаимная провод. к-й и i-й ветви.

Физический смысл: входная проводимость численно равна току в этой ветви, если в эту же ветвь включен источник, ЭДС которого равен 1В (т.е. это реакция ветви на включение одного источника ЭДС).

G_ki – численно равна току в к – й ветви, если в i – ю ветвь включен источник, ЭДС которого равен 1В.

2.4. Теорема обратимости

Ток в к – й ветви, вызываемый действием ЭДС, находящейся в i – й ветви, будет равен току в i – й ветви, если этот источник будет находиться в к – й ветви. I_i=G_iiE_i I_k(1)=G_kiE_i.

E_i=E_k; I_k=E_kG_kk; I_i(2)=E_kG_ik=E_iG_ik

, т.к. G_ki=G_ik

Реакция на источник будет одинакова.

2.5.Теорема компенсации

В электрической цепи без изменения величины тока можно заменить сопротивление эквивалентным источником ЭДС, направление которого противоположно направлению тока, а величина равна IR т.е.

E₁=IR₁

E₁=IR₁ <=>

1) IR+IR₁=E

2) IR=E-E₁

IR=E-IR₁

2. 6. Метод эквивалентного генератора

Рекомендуется использовать, если необходимо рассчитать ток только в одной ветви.

Ток в выделенной ветви численно равен отношению напряжения холостого хода этой ветви к сумме сопротивлений ветви и входного сопротивления двухполюсника со стороны выделенной ветви.

Используем метод наложения и заменяя полученную схему двумя схемами.

I¹=0 (источник компенсировал напряжение на зажимах активного двухполюсника). Таким образом получаем:

I=I¹+I¹¹=I¹¹;

R_bxab

Замечание: 1) U _авхх - напряжение между точками в режиме хх данной ветви (I_x=0) 2) При определении R_bxab источники шунтируются и в схеме остаются только их внутренние сопротивления (для идеального источника ЭДС это сопротивление равно 0, а для идеального источника тока равно ¥)

3.Электрические цепи однофазного синусоидального тока

3.1. Способы представления синусоидальных напряжений и токов.3.1.1. Представление тригонометрическими функциями

i=I_msin(w t+y_i)

u=U_msin(w t+y_u),

где: I_m, U_m – амплитудные значения соответственно тока и напряжения;

y_i, y_u – начальные фазы соответственно тока и напряжения;

w= 2pf – циклическая частота;

f – частота электрического тока.

3.1.2. Графическое представление

u i

j=y_u -y_i – угол сдвига фаз.

3.1.3.Представление векторами на декартовой плоскости.

Векторная диаграмма – совокупность векторов, изменяющихся с одинаковой частотой и построенная для фиксированного момента времени (т.е. обычно t_нач.=0).

m_v=… в/см t=t₁=>i(t₁)=I_my|t=t₁ m_i=… А/см t=t₁=>u(t₁)=U_my|t=t₁ -

y

w

y_u x

y_i

3.1.4. Способ представления синусоидальных токов комплексными числами.

_m – комплексная амплитуда тока.

_m = I _m e^{j y i}

_m – комплексная амплитуда напряжения

_m= U_me^{j yu}

y _i, y _U - начальные фазы соответственно тока и напряжения.

Приборы электромагнитным и электродинамическим способом измеряют действующие значения.

Действующее значение тока и напряжения:

; .

Комплекс действующего значения тока и напряжения

= Ie^{j y i}; = Ue^{j yu} .

3.1.5. Векторные диаграммы на комплексной плоскости.

m_u=… В/см m_i=… А/см   j=y _{U -} y _i

j

w

j >0

^{y u}

^yi 1

3.2. Идеальные элементы в цепи переменного тока

	Связь между напряжениями и токами на элементах
Во временной области
Компонентное уравнение	u=Ri
Мгновенное значение тока и напряжения	i=Imsinwt u=RImsinwt	i=Imsinwt u=LImsin(wt+p/2)	u=Umsinwt i=CwUmsin(wt+p/2)
Амплитуда	Um=RIm	Um=wLIm	Im=wCUm
Действующиие значения тока и напряжения	U=RI	U=wLI	I=wCU
Сопротивление Проводимость	R – акт. сопрот. G=1/R – акт. провод.	XL=wL – инд. сопрот. BL=1/wL – инд. пров.	XC=1/wC емк. сопр. BC=wC емк. пров.
Начальная фаза тока и напряжения	yu=yi	yu=yi+p/2	yu=yi-p/2
Угол сдвига фаз между током и напряжением	0	+p/2	-p/2
Графики тока и напряжения Исправить
Векторная диаграмма
Комплексные изображения
Мгновенные значения тока и напряжения	i->me^j^w^t u->me^j^w^t	i->me^j^w^t u->wLme^j(^w^t+^p^/2) u->jwLme^j^w^t	u->me^j^w^t i->jwCme^j^w^t
Комплексная амплитуда	m=Rm	m=jwLm	m
Комплексные действующие значения	=R	=jwL
Комплексные сопротивления	Z (R)=R	Z =jwL=jXL	Z =-j=-jXC
Комплексная проводимость	Y =1/R	Y =-j=-jBL	Y =jwC=jBC

3.3.Последовательное соединение идеальных элементов

Для данного двухполюсника запишем уравнение для второго закона Кирхгофа.

В дифференциальной форме u=iR+L

i=I_msin(wt+y_i)

u=RI_msin(wt+y_i)+I_mwLcos(wt+y_i)-I_mcos(wt+y_i)=

=RI_msin(wt+y_i)+I_mX_Lcos(wt+y_i)-IX_Ccos(wt+y_i).

X=X_L – X_C -- реактивное сопротивление цепи.

u=I_m(Rsin(wt+y_i)+Xcos(wt+y_i)) msina ± ncosa=cos(a±j) j=arctg n/m.

u=I_msin(wt+y_I+j) j=arctg X/R

U_m=I_m; Z – модуль сопротивления цепи; Z=

В комплексной форме записи:

_m = _mR+jX_{L m}-jX_{C m}= _m(R+j(X_L-X_C))= _m(R+jX);

Z =R+j(X_L-X_C)=R+jX – комплексное сопротивление цепи.

X_L>X_C; j>0 – характер сопротивления – активно-индуктивный.

X_L<X_C; j<0 – характер сопротивления – активно-ёмкостной.

X_L=X_C; j=0 – характер сопротивления – активный.

Z=; j=arcsin X/Z = arcos X/Z = arctg X/R R=Zcosj; X=Zsinj  

j

Z jX

j>0

j<0 1 - закон Ома в комплексной форме записи.

_mp - _{m реакт.} = _mL+ _{mC mR}= _mC – активные составляющие U U_ma = U_mcosj; U_mp=U_msinj U_m=

U_mL

J _m

_m

_mp y _i U_mR=UmA

1

_mC

3.4.Параллельное соединение идеальных элементов в цепи переменного тока

i=i_R+i_L+i_c;

I_m sin (wt-j)=wC cos wt

U=U_m sin wt

i=U_m(G sin wt-(B_L-B_C) cos wt)=U_m(G sin wt-B cos wt)=

=U_m sin wt-j.

G=1/R; B_L=; B_C=wC; B= B_L-B_C – реактивная проводимость.

j=arctg B/G; J= - полная проводимость цепи.

i=U_mJ sin (wt-j)=I_m sin (wt-j); I_m=U_mJ I_m – амплитуда тока.

В комплексной форме: = _R+ _L+ _C==(G-jB_L+jB_C);

= (G-jB); Y =G-jB – комплексная проводимость, В=В_L –В_C – реактивная проводимость

- закон Ома в комплексной записи для параллельного соединения элементов.

Y =G-j(B_L-B_C)=Ye^-jj

j>0; B_L>B_C – характер проводимости активно-индуктивный.

j<0; B_L>B_C – характер проводимости активно-ёмкостной.

j=0; B_L=B_C – характер проводимости активный (резонанс токов).

_реакт. = _L+ _C; (I_P=I_L-I_C) _a = I_R I= I_a=I cos j; I_p=I sin j

j j

X

jB _{C a}= _R

^j

^j>0 G 1 _p ^j 1

_L I

3.5 Метод комплексных амплитуд

Метод заключается в представлении синусоидально изменяющихся с одинаковой частотой напряжений и токов комплексными числами. Метод позволяет перейти от системы дифференциальных уравнений к решению системы алгебраических уравнений относительно искомых токов или напряжений.

3.6.Мощность цепи синусоидального тока.

Напряжение и ток пассивного двухполюсника равны:

u=U_m sin wt.

i=I_m sin (wt-j);

Мгновенная мощность определяется как:

p=ui=U_mI_m sin wt sin (wt-j)==( cos j - cos (2wt-j))

=UI( cos j - cos (2wt-j))

График

- активная мощность (среднее значение мгновенной мощности за период). Характеризует энергию, рассеиваемую в цепи.

Q =UI sin j - реактивная мощность характеризует энергию, которой обмениваются друг с другом (Q_эл) и с сетью (Q_сети) реактивные элементы.

Q= Q_эл + Q_сети

_{Полная мощность: S =UI}

j

S Q

j

P 1

cos j=P/S – доля активной мощности; в полной. Коэффициент мощности cos j необходимо поддерживать достаточно большим (0,95 ….0.98). В настоящее время нормируется не cos j, а tg j. tg j=Q/Р. Т.к. нагрузка обычно носит активно-индуктивный характер, то для повышения коэффициента мощности параллельно входу подключают или батарею конденсаторов, или синхронный компенсатор. Схема для компенсации индуктивной мощности приведена на рисунке.

x

_{j е}

[ p ]=Вт; [ P ]=Вт; [ S ]=ВА

_п

jX_Lп

j_п

=_п+_е

Комплекс полной мощности определяется как произведение комплекса действующего значения сопротивления на сопряженный комплекс тока.

Где: - комплекс действующего значения напряжения

- сопряженный комплекс действующего значения тока.

; ;

Баланс мощности (следствие закона сохранения энергии):

- полная комплексная мощность источника (потребителя).

; ; ;

Q_n=Q_Ln-Q_Cn Баланс мощности:

3.7.Пассивный двухполюсник в цепи переменного тока

Исправить рисунок

Задача: составить схему замещения двухполюсника и определить параметры элементов в схеме замещения.

1) Z=U/I – модуль полного сопротивления;

2) R=P/I² – активное сопротивление;

3) X= - реактивное сопротивление;

4) j= arcos;

5) Знак угла j -? Если в схему можно включить фазометр, то знак угла будет известен по показаниям. Если включен ваттметр, то знак угла определяется с помощью дополнительных конденсаторов.

x

j<0 j>0

j>0 активно-индуктивная нагрузка

j<0 активно емкостная нагрузка

j=0 активная нагрузка

_{02 01}

Z =R+jX( последов. )=Ze^jj; Y =G-jB( паралл. )=Ye^-jj

Передача энергии от активного двухполюсника к нагрузке

Определить уравнение: P_н=P_max (мощность, выделяющаяся в нагрузке максимальна). Это режим согласованной нагрузки.

Используем метод эквивалентного генератора и заменим активный двухполюсник эквивалентным генератором.

Z =Z_вхав; E=U_aвхх; P_н=I²R_н; Z =R+jX; ; ;

1) Условие P_н=P_max=>X+X_н=>X_н=-X; Нагрузка индуктивная=>двухполюсник емкостной

2) Условие ; R_н=R; P_max=;

Этот режим используется для цепей малой мощности (в связи с низким КПД)

3.8.Частотные свойства электрических цепей

Переходные функции цепей синусоидального тока

(напряжение или ток на выходе)= K(jw)

K(jw) – передаточная функция электрической цепи.

K(jw)= K(w)e^jj; K(w) – показывает во сколько раз модуль выхода больше (меньше) модуля выхода.

Y ₁₂(jw)

Z ₁₂(jw)

K_I(jw)

K_U(jw)

K(w)=F₂/F₁; j=y₂-y_1; y₂- выход; y₁ – вход.

режим - ХХ режим - КЗ

j

K(jw)=K(w)e^jj(w); K(w) – АЧХ; j(w) - ФЧХ

- АФХ K(jw)=K_в(Re)¹ jK_м(Jm)(w)

w=0 w=¥

Re

Логарифмические частотные характеристики:

20 lg K=f( lg w)

3.9. Частотные свойства колебательных контуров

Для определения частотных свойств электрических цепей нужно решить следующие задачи:

1) Определение зависимости модуля сопротивления или модуля проводимости контура от частоты z(w), y(w).

2) Определение зависимости угла сдвига фаз от частоты j(w)

3) Определение возможных видов резонансов и резонансных частот. Резонансом в электрической цепи называется режим работы электрической цепи при совпадении по фазе напряжения и тока на входе цепи. При этом входное сопротивление цепи и мощность, потребляемая из сети, носят чисто активный характер. Рез=>j=0=>S=P.

3.9. Последовательный резонансный контур. Резонанс напряжений.

- простейший контур, в котором происходит резонанс напряжений.

Входное сопротивление двухполюсника

Z =R+j(X_L-X_C)

У словие резонанса

X_L0=X_C0 (для этой цепи) w₀L=;

Добротность последовательного колебательного контура – величина, которая показывает во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости при резонансе больше входного напряжения.

q=; ; U_L0=I₀w₀L; U_C0=I₀

q=; q=; q=; - волновое сопротивление.

- затухание контура. ;

K_U(jw)=

q₁

- полоса пропускания.

w₁ w₀ w₂ w

q₂

Вне полосы пропускания частот, активная мощность сигнала по сравнению с max, уменьшается в 2 раза.

P(w₁)=P(w₂)=1/2 P_max q₁>q₂; q= - чем выше q, тем острее пик.

W_M (энергия магнитного поля) =

W_Э (энергия электрического поля) =

W=W_M + W_Э=W_Mmax=W_{Э max}

При резонансе обмен энергией происходит между индуктивностью и конденсатором. Из сети потребляется активная мощность, рассеиваемая на активном сопротивлении цепи (2 реактивных элемента обмениваются энергией т.е. колеблются).

X_L(w)

J 1) R=0 (контур идеальный) X_L=wL X_C= X= X_L- X_C

X_C(w)

_L0

w₀

w

_R 1

_C0

2) R ¹ 0

3.10.Параллельный колебательный контур

Y =g-j(b_L-b_C) g=1/R; b_L=; b_C=wC

Условие резонанса токов b=0

q параллельного колебательного контура величина, которая показывает во сколько раз ток через индуктивность или емкость при резонансе больше входного тока.

q=; I₀=gU; I_L0=; I_C0=Uw₀C; ; -волновая проводимость

Дата добавления: 2014-01-11