Пересечение плоскости с поверхностью

При пересечении поверхности (призма, пирамида, цилиндр, конус, сфера) плоскостью получают плоскую фигуру, которую называют сечением. Сечение поверхности плоскостью представляет плоскую линию, принадлежащую секущей плоскости. Проекции этой плоской линии строят по отдельным точкам. Сначала строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверхности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. Если эти точки не определяют полностью проекции линии сечения, то строят, промежуточные между опорными точками. Если секущая плоскость является проецирующей, то одна проекция линии сечения совпадает с вырожденной проекцией секущей плоскости, и изображается отрезком прямой в пределах соответствующей проекции поверхности.

Пирамида пересекается плоскостью по плоскому многоугольнику (рис.28), вершины которого принадлежат ребрам и сторонам основания пирамиды.

Пирамида SKLM пересечена плоскостью ∑, расположенной параллельно боковому ребру KS. Плоскость пересекает основание пирамиды ∆ KLM и два боковых ребра LS и MS. Значит, в сечении получается четырехугольник ABCD, в котором стороны AB и CD параллельны между собой, т. к. они параллельны ребру KS. Это необходимо учесть при построении проекций фигуры сечения. Так как боковое ребро SL параллельно плоскости П₃, то горизонтальную проекцию точки В строим по ее глубине относительно вершины S. Видимость сторон четырехугольника на плоскостях проекции определяют видимостью граней пирамиды. Т.к. грань SLM на П₃ не видна, то и сторона BC сечения тоже не видима. Грань SKM перпендикулярна плоскости П₃, поэтому сторона CD сечения совпадает с вырожденной в прямую проекцией грани.

Рис. 4.7

Натуральная величина фигуры сечения построена на поле П₄, расположенном параллельно секущей плоскости ∑ (на чертеже ось проекций П₂/П₄ расположена параллельно ∑₂). Проекции точек на поле П₄ построены на новых линиях связи, перпендикулярных новой оси проекций П₂/П₄,с помощью глубин точек фигуры сечения, измеренных на поле П₁ от оси проекции П₂/П ₁.

Призма так же как и пирамида пересекается плоскостью по плоскому многоугольнику. Поверхность призмы является проецирующей, значит одна проекция фигуры сечения совпадает с «вырожденной» проекцией боковой поверхности призмы. Следовательно, строим только третью проекцию фигуры сечения и ее натуральную величину.

Рис. 4.8

На прямая треугольная призма имеет горизонтально проецирующую поверхность, изображаемую на П₁треугольником 1₁-2₁-3₁. Секущая плоскость ∑ пересекает верхнее основание призмы и два боковых ребра, т.е. в сечении получается четырехугольник ABCD, горизонтальные проекции сторон ВC, CD и DA которого совпадает с ∆ 1₁-2₁-3₁. Т.к. на поле П₃не видна правая грань призмы, то и линия CD сечения ее тоже будет не видима. Натуральную величину сечения строим по двум направлениям: вдоль и поперек сечения. По вертикальной линии откладывают расстояния между точками вдоль сечения, истинные размеры которых берем с поля П₂по вырожденной проекции сечения плоскости (∑₂). По направлениям, перпендикулярным вертикальной линии, откладываем расстояния поперек сечения. Они соответствуют глубинам точек на поле П₁или поле П₃. На они измерены на П₁относительно точки D₁.

Сфера пересекается плоскостью по окружности. Диаметр окружности определяется отрезком d, совпадающим с вырожденной проекцией секущей плоскости внутри очерка сферы. Две другие проекции окружности сечения имеют форму эллипсов, для построения которых определяем размеры их осей. Большая ось эллипсов равна диаметру d окружности сечения, а величина малой оси зависит от угла наклона секущей плоскости к плоскости проекций. Плоскость ∑ (∑ ₂) - фронтально-проецирующая, пересекает сферу по окружности с центром в точке 0 (О₂) диаметром d = А₂В₂, где А – наивысшая, а В – наинизшая точка линии сечения. Эти точки лежат на главном меридиане f сферы. Горизонтальные А₁ и В₁ и профильные А₃ и В₃ проекции точек сечения строим по линиям связи на горизонтальной f₁ и профильной f₃ проекциях главного меридиана сферы. Окружность сечения на П₁и П₃изображаем эллипсом, размер малых осей которых определяем проекциями А₁В₁ и А₃В₃ диаметра АВ. Диаметр СD, перпендикулярный диаметру АВ, проецируется в точку на П₂ (C₂ ≡ D₂) и без искажения на П₁и П₃(C₁D₁ = d и C₃D₃ = d), т. к. является фронтально-проецирующим (CD ^П2) и определяет большую ось эллипсов. Окружность сечения частично не видима на П1и на П3. Точки видимости на П₁определяем в пересечении экватора h с плоскостью ∑ (точки Е и F); Е₁ (F₁) € h₁; Е₃ (F₃) € h₃. Точки Е₃ и F₃ строим по их глубинам, измеренным на П₁. Точки видимости на П₃определяем в пересечении профильного меридиана с секущей плоскостью (точки К и L). Сначала строим профильные проекции К₃ и L₃ этих точек, а по их глубинам на П₃строим горизонтальные К₁ и L₁ проекции.

Опорные точки строим все. Не построена пара промежуточных точек M и N, уточняющих форму горизонтальной и профильной проекций окружности сечения. Недостающие проекции точек строим с помощью вспомогательной параллели – окружности радиуса R, из условия принадлежности этих точек и секущей плоскости (М₂ ≡ N₂) поверхности сферы. М₁ (N₁) строим по вертикальной линии связи на дуге окружности радиуса R, а М₃ (N₃) – по горизонтальной линии связи с помощью глубин точек, измеренных на П₁.

Истинный размер сечения получаем на поле П₄, расположенном параллельно секущей плоскости ∑, как окружность диаметра d с центром в точке О₄. Затем в проекционной связи на этой окружности отмечаем проекции всех точек, с помощью которых строим горизонтальную и профильную проекции сечения.

Рис. 4.9

Цилиндр вращения пересекается плоскостью (Σ₂) в общем случае по эллипсу. Если же секущая плоскость параллельна (y₂) или перпендикулярна (Г₂) оси цилиндра, то в сечении получается соответственно пара параллельных прямых или окружность. Если поверхность цилиндра является проецирующей, то одна проекция линии сечения совпадает с «вырожденной» в окружность проекцией поверхности. Размеры осей эллипса сечения определяются диаметром цилиндра (малая ось эллипса равна диаметру цилиндра) и положением секущей плоскости (большая ось эллипса равна отрезку вырожденной проекции секущей плоскости в пределах очерка цилиндра). Центр эллипса сечения находим в точке пересечения оси цилиндра с секущей плоскостью. На рис. 4.10 построены проекции и натуральная величина сечения цилиндра, имеющего фронтально проецирующую поверхность. Секущая плоскость задана горизонтально проецирующей и пересекающей заднее основание цилиндра по линии ВС. Сечение представляет собой неполный эллипс с малой осью DE и большой полуосью, размер который определяется на П₁ отрезком А₁Е₁ Фронтальную проекцию сечения располагаем по дуге окружности влево от линии В₂С₂. Самой верхней точкой сечения будет точка Е, самой нижней – точка D. Эти же точки будут границей видимости линии сечения на поле П₃, как расположенные на очерковых образующих цилиндра. Промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 уточняют характер профильной проекции эллипса. Их профильные проекции строим с помощью глубин точек, измеренных на П₁ от дальнего основания цилиндра.

Натуральную величину сечения строим по двум направлениям: расстояния между точками вдоль сечения, измеренными на П₁, а поперек сечения на П₁.

Рис. 4.10

Конус вращения пересекается плоскостью в зависимости от ее расположения относительно поверхности по окружности, эллипсу, параболе, гиперболе или двум образующим. Наибольшие затруднения возникают при построении на конусе проекций кривых: эллипса (или его части), параболы и гиперболы.

Проекции точек, определяющих проекции кривых на конусе, строим с помощью образующих или с помощью параллелей.

Лекция 5. «МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ»

Дата добавления: 2014-01-20