Некоторые проблемы, возникающие при применении ЭВМ

Задачу устойчивости линейных систем можно решать,, например, с использованием критерия Гурвица, который позволяет сделать заключение об устойчивости линейной системы, анализируя коэффициенты характеристического уравнения, т.е. утверждать, что все корни имеют отрицательные вещественные части или нет.

Пусть характеристическое уравнение

тогда определитель Гурвица

По критерию должно быть: D_n > 0; D_n-1 > 0;..., D₁ > 0.

Т.о. возникает проблема вычисления определителей.

Например, один определитель 20-го порядка теоретически содержит 20! слагаемых, каждый из которых требует 19 умножений, т.е. всего требуется 20!×19» 4.6×10¹⁹ умножений и (20! - 1) сложений.

ЭВМ, имеющая производительность 10⁶ умн./сек, потребует для выполнения умножений около 1.5 млн. лет (prod(1:20)*19/1e6/3600/24/365 = 1.4658e+006).

Т.о. возникает проблема рациональных вычислений.

Однако более важное значение имеет проблема точности вычислений. В частности, для определителей (где часто возникает задача вычитания близких величин, при котором резко теряется точность) эта проблема еще не решена до конца.

Лучше всего найти решение проблемы без вычисления определителей.

Например, для решения системы линейных уравнений используется метод Гаусса, который позволяет свести матрицу системы к треугольной и найти решение т.н. обратной подстановкой. Попутно можно вычислить и определитель через произведение диагональных элементов треугольной матрицы.

Ряд проблем возникает также из-за того, что числовая ось в ЭВМ дискретна. Но в дискретной математике не выполняются некоторые законы, справедливые для непрерывной математики (например, сочетательный закон). Пусть, например:

В непрерывной математике u = 1 и v = 1 при любых x и y; на ЭВМ при x = 1 и y = 10^-40 получим u = 0 и v = 1.

Литература

Дата добавления: 2014-01-20