Замечания

1. Ускорения, которые фигурируют в аксиомах А2 и А4 являются абсолютными ускорениями.

2. Аксиомы А1 – А4 справедливы для свободной материальной точки.

Материальная точка называется свободной, если её перемещения не ограничены другими телами (связями).

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки

Пусть Oxyz – инерциальная система отсчета (ИСО). В ИСО справедливы аксиомы А1 и А2:

. (10.1)

Учитывая, что по определению ускорение точки равно и подставляя это выражение в формулу (10.1), получим

. (10.2)

В уравнении (10.2) допускается, что сила может зависеть от времени , положения (определяется радиус-вектором ) и скорости .

Получили, что радиус-вектор в каждый момент времени является содержимым дифференциального уравнения. Таким образом, формула (10.2) определяет дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки в векторной форме.

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в координатной форме

Проектируя уравнение (10.2) на оси ИСО Oxyz, получим

(10.3)

В этих уравнениях x, y, z - это координаты движущейся точки М (проекции радиус-вектора ), - проекции вектора скорости точки, - проекции вектора ускорения точки на оси системы координат Oxyz.

Уравнения (10.3) являются дифференциальными уравнениями движения свободной материальной точки в координатной форме.

Естественные уравнения движения свободной материальной точки

Введем вместо декартовых осей естественные оси на траектории точки в каждый момент времени и спроектируем на них основной закон динамики (10.1):

(10.4)

Учитывая, что касательное ускорение , нормальное ускорение и бинормальное ускорение точки равны

, , ,

где s – дуга, определяемая положение точки М на траектории, r - радиус кривизны траектории в текущем положении точки М, получим

(10.5)

Уравнения (10.5) являются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в естественной форме. Их также называют уравнениями в форме Эйлера.

Основные задачи динамики свободной материальной точки

Выделяют две основные задачи динамики свободной материальной точки:

1. Прямая задача.

Считая заданным движение материальной точки массой m, например, в векторной форме =(t), определить равнодействующую сил , вызывающих это движение.

Чтобы решить эту задачу, нужно определить ускорение точки, продифференцировав дважды заданный закон движения точки

и подставить его в основной закон динамики:

.

Таким образом, прямая задача всегда решается до конца.

Пример. Пусть уравнения движения точки заданы координатным способом:

Определить .

Решение. Траекторией точки является эллипс:

.

Из уравнений (10.3) ;

;

Разложим вектор силы по ортам осей x и y:

. (10.6)

Из формулы (10.6) видно, что сила будет всегда направлена вдоль радиус-вектора точки в противоположную ему сторону.

По модулю сила равна

2. Обратная задача. (Основная задача динамики свободной точки).

Определить движение, которое будет совершать точка массой , под действием заданных сил, равнодействующая которых равна .

Решение. Используем уравнения (10.3)

Чтобы решить обратную задачу нужно найти решение дифференциальных уравнений (10.3), т.е. проинтегрировать их. Аналитически эта задача решается только в частных случаях. Если аналитическое решение системы (10.3) невозможно, оно решается численно.

Если систему уравнений (10.3) удастся один раз проинтегрировать, то полученные новые зависимости будут включать время, координаты, их первые производные и три константы интегрирования С ₁, С ₂, С ₃:

(10.6)

Систему (10.6) называют системой первых интегралов уравнений динамики точки.

Если систему (10.6) удастся проинтегрировать еще раз, то полученное решение будет зависеть еще от 3-х констант интегрирования С ₄, С ₅, С ₆:

(10.7)

Для определения констант интегрирования используют начальные условия, которые задают начальное положение точки (, , ) и ее начальную скорость в момент времени t = t ₀:

(10.8)

Подставляя начальные условия (10.8) в выражения (10.6) и (10.7), составляют шесть уравнений для определения констант интегрирования:

После определения констант интегрирования решение задачи, соответствующее заданным начальным условиям (10.8), записывается в виде:

Пример. Задача Галилея

Рассмотрим движение тяжелой материальной точки в поле постоянной силы тяжести, брошенной с начальной скоростью под углом к горизонту.

Будем считать, что плоскость совпадает с плоскостью бросания в момент времени (рис. 10.2).

Дано: . Начальные условия: При : , , , , , .

Найти , , .

Решение. Основное уравнение динамики свободной материальной точки запишется в виде

. (10.9)

Проектируя уравнение (10.9) на оси , получим систему дифференциальных уравнений:

(10.10)

Разделяя переменные и сокращая на ,получим:

,,. (10.11)

Интегрируя уравнения (10.11), будем иметь

,,, (10.12)

где , , - константы интегрирования.

Подставляя в уравнения (10.12) начальные условия, получим

, , .

Следовательно, имеем

, , . (10.13)

Вновь разделяя переменные в уравнениях(10.13) и интегрируя, получим

, , .

Используя начальные условия , определим константы интегрирования :

, , .

Следовательно, закон движения точки имеет вид:

, ,

Из уравнений видно, что траекторией точки является плоская кривая (парабола), расположенная в вертикальной плоскости.

Дата добавления: 2014-01-20