![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Замечания
1. Ускорения, которые фигурируют в аксиомах А2 и А4 являются абсолютными ускорениями. 2. Аксиомы А1 – А4 справедливы для свободной материальной точки.
Материальная точка называется свободной, если её перемещения не ограничены другими телами (связями).
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки
Учитывая, что по определению ускорение точки равно
В уравнении (10.2) допускается, что сила может зависеть от времени Получили, что радиус-вектор
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в координатной форме
Проектируя уравнение (10.2) на оси ИСО Oxyz, получим
В этих уравнениях x, y, z - это координаты движущейся точки М (проекции радиус-вектора Уравнения (10.3) являются дифференциальными уравнениями движения свободной материальной точки в координатной форме.
Естественные уравнения движения свободной материальной точки
Введем вместо декартовых осей естественные оси
Учитывая, что касательное ускорение
где s – дуга, определяемая положение точки М на траектории, r - радиус кривизны траектории в текущем положении точки М, получим
Уравнения (10.5) являются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в естественной форме. Их также называют уравнениями в форме Эйлера.
Основные задачи динамики свободной материальной точки
Выделяют две основные задачи динамики свободной материальной точки: 1. Прямая задача. Считая заданным движение материальной точки массой m, например, в векторной форме Чтобы решить эту задачу, нужно определить ускорение и подставить его в основной закон динамики:
Таким образом, прямая задача всегда решается до конца. Пример. Пусть уравнения движения точки заданы координатным способом:
Решение. Траекторией точки является эллипс:
Из уравнений (10.3)
Разложим вектор силы по ортам осей x и y:
Из формулы (10.6) видно, что сила По модулю сила равна
2. Обратная задача. (Основная задача динамики свободной точки). Определить движение, которое будет совершать точка массой Решение. Используем уравнения (10.3)
Чтобы решить обратную задачу нужно найти решение дифференциальных уравнений (10.3), т.е. проинтегрировать их. Аналитически эта задача решается только в частных случаях. Если аналитическое решение системы (10.3) невозможно, оно решается численно. Если систему уравнений (10.3) удастся один раз проинтегрировать, то полученные новые зависимости будут включать время, координаты, их первые производные и три константы интегрирования С 1, С 2, С 3:
Систему (10.6) называют системой первых интегралов уравнений динамики точки. Если систему (10.6) удастся проинтегрировать еще раз, то полученное решение будет зависеть еще от 3-х констант интегрирования С 4, С 5, С 6:
Для определения констант интегрирования используют начальные условия, которые задают начальное положение точки
Подставляя начальные условия (10.8) в выражения (10.6) и (10.7), составляют шесть уравнений для определения констант интегрирования: После определения констант интегрирования решение задачи, соответствующее заданным начальным условиям (10.8), записывается в виде: Пример. Задача Галилея Рассмотрим движение тяжелой материальной точки в поле постоянной силы тяжести, брошенной с начальной скоростью Будем считать, что плоскость Дано: Найти
Решение. Основное уравнение динамики свободной материальной точки запишется в виде
Проектируя уравнение (10.9) на оси
Разделяя переменные и сокращая на
где Подставляя в уравнения (10.12) начальные условия, получим
Следовательно, имеем
Вновь разделяя переменные в уравнениях(10.13) и интегрируя, получим
Используя начальные условия
Следовательно, закон движения точки имеет вид:
Из уравнений видно, что траекторией точки является плоская кривая (парабола), расположенная в вертикальной плоскости.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 477; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |