Алгоритм линейной цифровой фильтрации

Алгоритмы аналитической градуировки, цифровой фильтрации методами экспоненциального сглаживания и скользящего среднего. Робастные, высокочастотные, полосовые и режекторные фильтры. Дискретное дифференцирование, интегрирование и усреднение измеряемых величин.

Фильтр - это система или сеть, избирательно меняющая форму сигнала (амплитудно-частотную или фазово-частотную характеристику). Основными целями фильтрации являются улучшение качества сигнала (например, устранение или снижение помех), извлечение из сигналов информации или разделение нескольких сигналов, объединенных ранее для, например, эффективного использования доступного канала связи.

Цифровой фильтр - любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала.

В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны (непрерывны), соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.

Упрощенная блок-схема цифрового фильтра реального времени с аналоговым входом и выходом приведена на рис. 8а. Узкополосный аналоговый сигнал периодически выбирается и конвертируется в набор цифровых выборок, x(n), n = 0,1, Цифровой процессор производит фильтрацию, отображая входную последовательность х(n) в выходную у(n) согласно вычислительному алгоритму фильтра. ЦАП конвертирует отфильтрованный цифровым образом выход в аналоговые значения, которые затем проходят аналоговую фильтрацию для сглаживания и устранения нежелательных высокочастотных компонентов.

Рис. 8а. Упрощенная блок схема цифрового фильтра

Работа цифровых фильтров обеспечивается, в основном программными средствами, поэтому они оказываются значительно более гибкими в применении по сравнению с аналоговыми. С помощью цифровых фильтров можно реализовать такие передаточные функции, которые очень трудно получить обычными методами. Тем не менее, цифровые фильтры пока не могут заменить аналоговые во всех ситуациях, поэтому сохраняется потребность в наиболее популярных аналоговых фильтрах.

Для того чтобы разобраться в сущности цифровой фильтрации, прежде всего необходимо определить математические операции, которые осуществляются над сигналами в цифровой фильтрации (ЦФ). Для этого полезно вспомнить определение аналогового фильтра.

Линейный аналоговый фильтр представляет собой четырёхполюсник, в котором реализуется линейное преобразование входного сигнала в выходной сигнал . Математически это преобразование описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением N -го порядка

, (2.1)

где и - коэффициенты, являющиеся либо константами, либо функциями времени t; - порядок фильтра.

Линейный дискретный фильтр представляет собой дискретный вариант аналогового линейного фильтра, в котором квантованной (дискретизированной) является независимая переменная - время (- шаг дискретизации). При этом целочисленная переменная может рассматриваться как «дискретное время», а сигналы и как функции «дискретного времени» (так называемые решётчатые функции).

Математически функция линейного дискретного фильтра описывается линейным разностным уравнением вида

, (2.2)

где и — отсчёты входного и выходного сигналов соответственно; и — коэффициенты алгоритма фильтрации, представляющие собой либо константы, либо функции «дискретного времени» n.

Алгоритм фильтрации (2.2) может быть реализован средствами аналоговой либо цифровой техники. В первом случае отсчёты входных и выходных сигналов по уровню не квантуются и могут принимать любые значения в диапазоне их изменения (т.е. имеют мощность континуума). Во втором случае отсчёты сигналов и подвергаются квантованию по уровню, в связи с чем они могут принимать только «разрешённые» значения, определяемые разрядностью цифровых устройств. Кроме того, квантованные отсчёты сигналов кодируются, поэтому арифметические операции, выполняемые в выражении (2.2), осуществляются не над самими сигналами, а над их двоичными кодами. Из-за квантования по уровню сигналов и , а также коэффициентов и равенство в алгоритме (2.2) не может быть точным и выполняется лишь приближённо.

Таким образом, линейный ЦФ представляет собой цифровое устройство, приближённо реализующее алгоритм фильтрации (2.2).

Главный недостаток аналоговых и дискретных фильтров заключается в том, что при изменении условий работы (температуры, давления, влажности, питающих напряжений, старения элементов и т.д.) их параметры изменяются. Это приводит к неконтролируемой погрешности выходного сигнала, т.е. к низкой точности обработки.

Погрешность выходного сигнала в ЦФ не зависит от условий работы (температуры, давления, влажности, питающих напряжений и т.п.), а определяется лишь шагом квантования сигналов и алгоритмом работы самого фильтра, т.е. внутренними причинами. Эта погрешность является контролируемой, её можно уменьшить, увеличивая число разрядов для представления отсчётов цифровых сигналов. Именно этим обстоятельством обусловлены основные преимущества цифровых фильтров перед аналоговыми и дискретными (высокая точность обработки сигналов и стабильность характеристик ЦФ).

ЦФ по типу алгоритма обработки сигналов подразделяются на стационарные и нестационарные, рекурсивные и нерекурсивные, линейные и нелинейные.

Главной характеристикой ЦФ является алгоритм фильтрации, по которому осуществляется реализация ЦФ. Алгоритмом фильтрации описывается работа ЦФ любого класса без ограничений, в то время как другие характеристики имеют ограничения на класс ЦФ, например, некоторые из них пригодны для описания только стационарных линейных ЦФ.

Рис. 11. Классификация ЦФ

На рис. 11 приведена классификация цифровых фильтров (ЦФ). В основу классификации положен функциональный принцип, т.е. ЦФ подразделяются исходя из реализуемых ими алгоритмов, а не с учетом каких-либо схемотехнических особенностей.

ЦФ частотной селекции. Это наиболее известный, хорошо изученный и апробированный на практике тип ЦФ. С алгоритмической точки зрения ЦФ частотной селекции решают следующие задачи:

· выделение (подавление) одной априорно заданной полосы частот; в зависимости от того, какие частоты подавляются, а какие - нет, различают фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ) и режекторный фильтр (РФ);

· разделение по отдельным частотным каналам равноценных и равномерно распределенных по всему частотному диапазону спектральных компонент сигнала с линейчатым спектром; различают ЦФ с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте; а поскольку основным методом уменьшения аппаратурных затрат является каскадирование более низкоизбирательных, чем исходный, наборов ПФ, то многоступенчатая пирамидальная структура, получаемая в результате, была названа ЦФ типа "преселектор - селектор";

· разделение по отдельным частотным каналам спектральных составляющих сигнала, чей спектр состоит из субполос различной ширины, неравномерно распределенных в пределах рабочего диапазона фильтра.

Различают фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр) или фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Оптимальные (квазиоптимальные) ЦФ. Этот тип фильтров применяется тогда, когда требуется оценить те или иные физические величины, характеризующие состояние системы, подверженной случайным возмущениям. Современная тенденция - использование достижений теории оптимальной фильтрации и реализация устройств, минимизирующих средний квадрат ошибки оценивания. Они подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, какими уравнениями описывается состояние системы.

Если уравнения состояния линейны, то применяется оптимальный ЦФ Калмана, если же уравнения состояния системы нелинейны, то применяются различные многоканальные ЦФ, качество работы которых улучшается с ростом числа каналов.

Существуют различные частные случаи, когда алгоритмы, реализуемые оптимальными (квазиоптимальными) ЦФ могут быть упрощены без существенной потери точности: это, во-первых, случай линейной стационарной системы, приводящий к известному ЦФ Винера; во-вторых случай наблюдений лишь в один фиксированный момент времени, приводящий к ЦФ, оптимальному по критерию максимума отношения сигнал/шум (ОСШ); в-третьих случай уравнений состояния системы близких к линейным приводящий к нелинейным фильтрам первогои второго порядка и др.

Важной проблемой является также обеспечение нечувствительности всех вышеперечисленных алгоритмов к отклонению статистических характеристик системы от заранее заданных; синтез таких ЦФ, называемых робастными.

Адаптивные ЦФ. Сущность адаптивной цифровой фильтрации состоит в следующем: для обработки входного сигнала (обычно адаптивные ЦФ строят одноканальными) используется обычный КИХ-фильтр; однако ИХ этого фильтра не остается раз и навсегда заданной, как это было при рассмотрении ЦФ частотной селекции; она также не изменяется по априорно заданному закону, как это было при рассмотрении ЦФ Калмана; ИХ корректируется с поступлением каждого нового отсчета таким образом, чтобы свести к минимуму среднеквадратическую ошибку фильтрации на данном шаге. Под адаптивным алгоритмом понимается рекуррентная процедура пересчета вектора отсчетов ИХ на предыдущем шаге в вектор “новых” отсчетов ИХ для следующего шага.

Эвристические ЦФ. Возможны ситуации, когда применение корректных с математической точки зрения процедур обработки является нецелесообразным, поскольку приводит к неоправданно большим аппаратурным затратам. Эвристический подход заключается (от греч. и лат. Evrica - «отыскиваю», «открываю») в использовании знания, изучающая творческое, неосознанное мышление человека. Эвристика связана с психологией, физиологией высшей нервной деятельности, кибернетикой и другими науками. Эвристический подход “порожден” стремлением разработчиков уменьшить аппаратурные затраты и получившие широкое распространение несмотря на отсутствие строгого математического обоснования. Это так называемые ЦФ с авторскими схемными решениями, одним из наиболее известных примеров является т.н. медианный фильтр.

Дата добавления: 2014-01-20