Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики в количественной форме дают достаточную информацию о случайной величине.

Математическое ожидание характеризует положение сл. величины X на числовой оси, определяет центр распределения - некоторое среднее значение, около которого сосредоточиваются все возможные значения сл. величины.

Для дискретной сл. величины мат. ожидание определяется формулой

(6.1)

Если n=¥, то , (6.2)

при этом ряд должен сходиться абсолютно.

Для непрерывной сл. величины

. (6.3)

Вычислим мат. ожидание для дискретной сл. величины, описанной в примере 1:

M[X] = 0∙0,2373 + 1∙0,3955 + 2∙0,2637 + 3∙0,0879 + 4∙0,0146 +5∙0,0010 = 1,25.

Свойства мат. ожидания:

1. M[X] =с, если X=c.

2. M[cX] =с M[X].

3. M[X+Y] = M[X]+ M[Y].

4. M[XY] = M[X]∙ M[Y], если X,Y- независимые сл. величины,

5. M[X – M(x)] = 0.

Дисперсия - мера рассеяния случайной величины. По определению дисперсия равна

. (6.4)

Для дискретной сл. величины

. (6.5)

Для непрерывной сл. величины

. (6.6)

Для оценки рассеяния непрерывной сл. величины используется также среднее квадратичное отклонение:

.

Свойства дисперсии:

1. D[X] = 0, если X = c.

2. D[сX] = с² D[X].

3. D[X+Y] = D[X] + D[Y].

4. D[X - Y] = D[X] + D[Y].

5. D[X] = M(x²) – [M(x)]².

6. D[XY] = D[X] ∙ D[Y] + [M(x)]²D[Y] + [M(y)]²D[X].

Для случайной величины, описанной в примере 1

D[X] = (0-1,25)²∙0,2373 + (1-1,25)²∙0,3955 + (2-1,25)²∙0,2637 +

+ (3-1,25)²∙0,0879 + (4-1,25)²∙0,0146 +(5-1,25)²∙0,0010 ≈ 0,938.

Дата добавления: 2014-01-20