Кибернетическая интерпретация действий над операторами

Рассмотрим ситуацию, в которой некоторое состояние х характеризует общий вход двух систем с линейными операторами T1 и T2, а результатом преобразования состояния х являются, таким образом, два состояния выходов соответствующих систем у1 и у2, которые суммируются и сумму которых обозначим через у. Такое соединение двух систем будем называть параллельной связью (параллельным соединением) (рис1).

В данном случае операторные формулы таковы:

y1=T1x и y2=T2x,

откуда

y = y1+y2 = T1x + T2x = (T1 + T2)x.

Результат этого расчета можно представить в виде одного преобразования у=Тх, где Т=T1+T2.

Отсюда вытекает следующее утверждение: оператор преобразования, в котором две системы соединены параллельно, равняется сумме операторов отдельных систем.

Эту теорему можно обобщить методом индукции на конечное или бесконечное (но счетное) множество параллельно соединенных систем.

Рис. 1

Рассмотрим теперь последовательную связь (последовательное соединение) двух систем с линейными операторами T1 и T2 (рис. 2). При последовательном соединении состояние выхода одной системы оказывается состоянием входа другой системы. Тогда y1=Т1х и у=Т2y1. Подставляя первое преобразование вместо y1 в формулу второго преобразования, имеем у=Т2Т1x. Это равнозначно одному преобразованию у = Тх, оператор которого Т = Т2Т1.

Отсюда получаем следующую теорему: оператор, соответствующий последовательному соединению двух систем, равен произведению операторов этих систем. Эту теорему методом индукции также можно распространить и на произвольное конечное или бесконечное (счетное) множество последовательно соединенных систем.

В технике последовательное соединение ряда систем часто называется каскадом. Действительно, в таком соединении преобразование состояния начального входа х как бы проходит цепь «порогов», соответствующих системам последовательного соединения.

Рис.2

Поскольку, линейным операторам можно поставить в соответствие «пропускную способность» (абсолютное значение) соответствующих преобразований, то приведенные выше две теоремы можно также сформулировать по-иному; первая теорема: совокупная пропускная способность систем, соединенных параллельно, равна сумме пропускных способностей этих систем; вторая теорема: совокупная пропускная способность систем, соединенных последовательно, равна произведению пропускных способностей этих систем.

Рассмотрим третий тип соединения, а именно обратную связь (рис. 3). Обозначим преобразование в двух системах, соединенных обратной связью, через у = Т1х и Δх = Т2у. Тогда получаем уже известную формулу:

.

Это равнозначно преобразованию у = Тх, где Т = . Следовательно, соединение двух систем обратной связью приводит к тому, что оператор первой системы T1 умножается на . Этот последний «сомножитель» и есть оператор обратной связи. В случае, когда T1 и T2 – пропорциональные преобразования, этот оператор равнозначен коэффициенту обратной связи, который упоминался выше.

Рис. 3

Рассмотрим два более сложных случая соединения систем. В первом случае предположим, что существует регулируемая система, которой соответствует оператор S, и соединенные с ней параллельно две системы обратной связи или два регулятора с операторами R1 и R2 соответственно (рис. 4). Производим действия над операторами. Результат расчета по такой системе регулирования можно записать в виде одного преобразования у = Тх. Обозначив через Δ1х и Δ2х состояния выходов первого и второго регулятора соответственно и, следовательно, Δ1х=R1у и Δ2x=R2у, находим, что

у = S (х + Δ1х + Δ2x) = S (х + R1у + R2у) = Sx + SR1y + SR2y.

Отсюда: у(1 – SR1 – SR2) = Sх и

Итак, в данном случае результирующий оператор всей системы регулирования есть .

Рис. 4

Указанный результат аналогичен тому, который получился бы, если два параллельно соединенных регулятора заменить одним регулятором с оператором R = R1 + R2. Это означает, что вместо двух параллельно соединенных регуляторов можно поставить один, пропускная способность которого равна сумме пропускных способностей отдельных регуляторов. Сказанное можно распространить на произвольное конечное или бесконечное, но счетное множество регуляторов, соединенных параллельно.

Во втором случае предположим, что система регулирования состоит из двух регулируемых систем, соединенных между собой последовательно, с операторами S1 и S2 соответственно, причем каждая из этих систем оборудована регуляторами обратной связи с операторами R1 и R2 соответственно (рис. 5).

Рис. 5

Состояние входа первой системы обозначим через х1, выхода – через у1, состояние выхода второй системы – через у.

Общий результат работы такой системы запишем в виде одного преобразования
у = Тх. Согласно доказанным выше теоремам, имеем:

и

В итоге

Таким Образом, результирующий оператор рассматриваемой системы регулирования есть .

Из проведенного анализа можно сделать некоторые более общие выводы. Кибернетическая интерпретация действий над операторами, соответствующими разного рода соединениям, дает возможность исчислить результирующий оператор действия целого комплекса систем. Отсюда следует, что каждая система, оператор которой можно представить в виде суммы, разности, произведения или частного других операторов, является собственно комплексом систем, определенным образом соединенных между собой.

Дата добавления: 2014-01-11