Интегрирование по частям

При этом способе используют формулу интегрирования по частям

∫udv=uv-∫vdu (*)

К числу интегралов, вычисляемых по частям, относятся, например, интегралы вида ∫P(x)·f(x)dx, где P(x)- многочлен (в частности, степенная функция), а f(x)- одна из следующих функций: e^x, sin ax, cos ax, ln x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. При этом для интегралов вида ∫P(x)·e^axdx, ∫P(x) sin axdx, ∫P(x) cos axdx, в качестве “u” принимают многочлен P(x), а для интегралов вида ∫P(x) arcsin xdx, ∫P(x) arccos xdx, ∫ P(x) arctg xdx, ∫ P(x) arcctg xdx, ∫P(x) ln xdx в качестве “u” принимается ln x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Пример. Решить методом интегрирования по частям ∫ x ln xdx.

Решение. Согласно данным выше рекомендациям, заменим lnx=u, а оставшееся выражение xdx=dv. Найдем du=d(lnx)=dx/x и функцию v из равенства dv=xdx. Тогда ∫dv=∫xdx, откуда v=x²/2 (полагаем С=0). Теперь, зная u=lnx, v=x²/2 и du=dx/x, применим формулу интегрирования по частям ∫udv = uv-∫vdu. В нашем примере имеем:

∫lnx·xdx= или ∫xlnxdx=.

Примечание: В некоторых случаях для приведения интеграла к табличному виду формулу интегрирования по частям применяют последовательно несколько раз.

Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной функцией называется функция вида , где и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена меньше степени многочлена . Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где - некоторые многочлены, а - правильная рациональная дробь.

Теорема. Пусть - правильная рациональная дробь, и - многочлены с действительными коэффициентами. Если многочлен представляет собой , где - попарно различные действительные корни многочлена кратности а , где и - попарно различные при разных комплексно-сопряженные корни многочлена кратности , то существуют действительные числа и , такие, что

При выполнении разложения вида (*) для конкретно заданной дроби оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем. Для данной дроби пишется разложение (*), в котором коэффициенты считаются неизвестными . После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты. При этом если степень многочлена равна , то получаем систему уравнений с неизвестными. Решая ее, находим неизвестные коэффициенты.

Теорема. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно, он является алгебраической суммой суперпозиций рациональных дробей, арктангенсов и натуральных логарифмов.

Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.

Интегрирование некоторых иррациональностей.

Интегралы вида

Пусть - общий знаменатель чисел .Тогда замена приводит искомый интеграл к интегралу от рациональной функции.

Интегралы вида приводят к интегралам предыдущего вида путем элементарного преобразования: .

Интегралы от дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.

Выражение называется дифференциальным биномом. Здесь . Замена приводит к интегралу типа .

П.Л. Чебышев показал, что данный интеграл выражается через элементарные функции только в трех случаях:

1. замена: , где знаменателей дробей и .

2. замена: , где знаменатель дроби .

3. замена: , где знаменатель дроби .

Тригонометрические подстановки.

Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла (или ), для второго (или ) и для третьего (или ).

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Замена всех тригонометрических функций тангенсом половинного угла

приводит интегралы вида к интегралам от рациональных функций.

Дата добавления: 2014-01-20