КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две задачи динамики точки
Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной материальной точки. При этом для несвободной материальной точки ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей (принципа освобождаемости) силы пассивные (реакции связи). Пусть – равнодействующая системы сил (активных и реакций), действующих на точку. На основании второго закона динамики (6) с учетом соотношения, определяющего ускорение точки при векторном способе задания движения: , получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме: . (7) Спроектировав соотношение (6) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения, определяющие проекции ускорения на оси декартовой системы координат: , , , получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на эти оси: (8) Спроектировав соотношение (6) на оси естественного трехгранника () и использовав соотношения, определяющие формулы для ускорения точки при естественном способе задания движения: , , , получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника: (9) Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.). С помощью уравнений (7)-(9) ставятся и решаются две основные задачи динамики материальной точки. Первая (прямая) задача динамики материальной точки: зная массу материальной точки и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на материальной точки силы.
Например, если заданы уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат: то проекции на оси координат силы , действующей на МТ, определятся после использования соотношений (8): Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов, которые составляет сила с осями декартовой системы координат. Для несвободной МТ обычно необходимо еще, зная действующие на нее активные силы, определить реакции связи. Вторая (обратная) задача динамики материальной точки: зная массу точки и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения. Для несвободной материальной точки обычно необходимо, зная массу материальной точки и действующие на нее активные силы, определить уравнения или кинематические параметры ее движения и реакции связи. Силы, приложенные к точке, могут зависеть от времени, положения материальной точки в пространстве и от скорости ее движения, т. е. . Рассмотрим решение второй задачи в декартовой системе координат. Правые части дифференциальных уравнений движения (8) в общем случае содержат функции времени, координат, их производных по времени: (10) Для того, чтобы найти уравнения движения МТ в декартовых координатах, необходимо дважды проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (10), в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки, а аргументом – время t. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение системы трех дифференциальных уравнений второго порядка содержит шесть произвольных постоянных: (11) где Cg, (g = 1,2,…,6) – произвольные постоянные.
Продифференцировав соотношения (11) по времени, определим проекции скорости МТ на координатные оси: (12) В зависимости от значений постоянных Cg, (g =1,2,…,6) уравнения (11) описывают целый класс движений, который могла бы совершить МТ под действием данной системы сил. Действующие силы определяют только ускорение МТ, а скорость и положение МТ на траектории зависят еще от скорости, которую сообщили МТ в начальный момент, и от начального положения МТ. Для выделения конкретного вида движения МТ (т. е. чтобы сделать вторую задачу определенной) надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий задают начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, принимаемый за начальный, задаются координаты движущейся МТ и проекции ее скорости: при t = 0: (13) где – значения координат материальной точки и их производных в начальный момент времени t=0. Используя начальные условия (13), формулы (12) и (11), получаем шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных: (14) Из системы (14) можно определить все шесть произвольных постоянных: . (g = 1,2,…,6) Подставляя найденные значения Cg, (g = 1,2,…,6) в уравнения движения (11), находим решения второй задачи динамики в виде закона движения точки.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 4164; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |