Понятие о производных высших порядков

Основные теоремы дифференциального исчисления.

MX-запись

Каноническое имя (CNAME) или псевдоним

Обратная запись (PTR).

Для выполнения обратных запросов указатели (PTR) создают соответствующие входящие сообщения в зоне обратного просмотра. Как видно на изображении H, при создании хоста можно также создать и запись PTR. Если вы не воспользовались этой опцией в тот момент, создать указатель можно будет в любое время.

Для создания записи PTR:

· Выберите объект DNS из папки Администрирование (Administrative Tools), чтобы открыть консоль управления DNS-сервером.

· Выберите зону обратного просмотра, где будет создан указатель.

· Из меню Действие (Action) выберите команду Новый указатель (New Pointer) (изображение P).

· Введите IP-адрес узла (Host IP Number) и Имя узла (Host Name).

· Нажмите OK.

Изображение P. Новый указатель

Каноническое имя (CNAME) или псевдоним позволяет DNS-серверу назначать множество имён одному узлу. Например, псевдоним может содержать несколько записей, указывающих на один сервер в среде. Это часто применяется в том случае, если веб-сервер и почтовый сервер находятся на одной машине.

Данная запись указывает почтовые серверы обмены почтой в базе данных DNS внутри зоны. С её помощью можно назначить приоритеты и отслеживать размещение всех почтовых серверов.

Пусть дана функция . Ее производная так же является функцией от и называется производной первого порядка. Если Пример 52. Пусть . Найти производную 5 – го порядка

Решение. Найдем последовательно производные до 5 – го порядка.

Продолжая этот процесс дальше, замечаем следующую закономерность

Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид

Пример 54. Найти производную функции

Решение. Прологарифмируем функцию

Продифференцируем обе части этого равенства

Пример 55. Найти производную функции

Решение. Прологарифмируем функцию

Продифференцируем обе части этого равенства

Дифференциалы высших порядков.

Так как дифференциал функции

Таким образом, . Аналогично и т. д.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема 27 (теорема Ролля). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю, т. е. для любой точки из отрезка . Пусть и , . Тогда для всех верно неравенство и

а при , получаем . Аналогично доказывается и случай когда .

Замечание. Теорема Ролля означает, что на графике функции найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси (рис. 61).

Теорема 28 (теорема Коши). Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что

Доказательство. Заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка , что . А так как

Отсюда

Теорема 29 (теорема Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка ,что

Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке , то функция постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть и . По теореме Лагранжа существует такая точка , что , следовательно, или

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке , то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Доказательство. Пусть для . Тогда получаем .

Приравняем опять , получим

Окончательно выражение для примет вид

Точка находится между и , т. е. . Это равенство называется формулой Тэйлора. При , получим

Найдем производные и их значения в точке

Пятая и все последующие производные будут равны нулю, поэтому и получаем разложение

Если в формуле Тэйлора положить получим частный случай - формулу Маклорена

в окрестности точки , то

Доказательство. Применим к функциям и теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где . Учитывая, что , получаем

При , величина , тогда

Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда и не определены в точке , но выполняется условие

Замечание 2. Теорема верна и для случая, когда . Действительно, положим получим

Теорема 31 (Без доказательства). Если функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме может быть, самой точки ) и в этой окрестности

Дата добавления: 2014-01-20