Возрастание и убывание функций

Исследование функций и построение графиков теоремы.

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций.

По поведению производной функции на промежутках можно судить о ее монотонности на них.

Необходимые условия возрастания (убывания) функции.

Теорема 32. Если дифференцируемая на некотором интервале функция возрастает (убывает) на нем, то ) для всех .

Доказательство. Пусть функция возрастает интервале . Выберем произвольные точки и на этом интервале и рассмотрим отношение

Функция возрастает, поэтому при будет и , а при будет и . В обоих случаях

так как числитель и знаменатель дроби будут иметь одинаковые знаки. Следовательно,
( на интервале . Возьмем точки . Применим к отрезку теорему Лагранжа

и , то и . Следовательно, функция возрастает на интервале .

Дата добавления: 2014-01-20