Вычисление двойного интеграла (простейший случай)

Области интегрирования I и II типа

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования D, а для областей определённого типа. Введём понятия областей интегрирования типа I и II.

Определение 1: Говорят, что область D на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x, и описывается неравенствами:

или другими словами: контур области D встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более, чем в двух точках.

в этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле:

Определение 2: Говорят, что область D на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y, и описывается неравенствами:

или другими словами: контур области D встречается со всякой пересекающей его горизонтальной прямой не более, чем в двух точках.

в этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле:

Замечание: если контур области D не подходит ни под область I типа, ни под область II типа, то область разбивают на несколько частей так, чтобы к каждой части могли быть применены вышеуказанные формулы.

Пример 1: расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями: у =2 х ²; 4 х = у ².

Рассмотрим приведение двойного интеграла к повторному (двукратному) по области D - I типа:

;

a =0; b =1; y =2 x ²; 4 x = y ² Þ ;

Рассмотрим приведение двойного интеграла к повторному (двукратному) по области D - II типа:

;

c =0; d =2; 4 x = y ² Þ ; y =2 x ² Þ ;

Пример 2: Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле:

Построим чертёж:

Разобьём прямой у =0 данную область D на две, тогда:

Пример 3: вычислить , где область D ограничена линиями у = х ², у =0, х + у -2=0.

Дата добавления: 2014-01-20