Теорема Гаусса. Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая малая площадка Δ S. Произведение модуля вектора на площадь Δ S и на косинус угла α между

Рисунок 1.7. К определению элементарного потока ΔΦ

вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку Δ S (рисунок 1.8): ΔΦ = E Δ S cos α = En Δ S, (1.8) где En – модуль нормальной составляющей поля . Для произвольной поверхности S поток вектора сквозь неё: . (1.9)

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.

Рисунок 1.8 Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0. 1.10)

Для доказательства рассмотрим сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4π R ². Следовательно, Ф = q /.

Применив теорему Гаусса, можно вычислить поля:

1) Тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R

, (1.11)

где r ≥ R, τ – заряд единицы длины цилиндра. Если r R, Е= 0. Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

2) Равномерно заряженной плоскости:

(1.12)

где σ – поверхностная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Дата добавления: 2014-01-20