Пример. Вопрос 2. Минор, алгебраическое дополнение

Вопрос 2. Минор, алгебраическое дополнение

Минором M_ij определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием строки i и столбца j.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется число, определяемое равенством

Следовательно,

Пример. Для определителя получим:

, , ,

Вопрос 3. Свойства определителей

Свойство 1. Величина определителя не изменится при транспонировании, то есть если все его строки и столбцы поменять местами.

Свойство 2. При перестановке любых двух столбцов или двух строк определитель меняет знак на противоположный.

Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца (одной строки) определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца (или некоторой строки) равны нулю, то сам определитель равен нулю.

Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 7. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на одно и то же число, то величина определителя при этом не изменится.

Свойство 8. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения.

Например, определитель третьего порядка можно разложить на определители второго порядка шестью способами:

Свойство 8 называют разложением определителя на определители меньшего порядка по элементам строки (столбца).

Пример. Вычислить определитель

путем разложения его на определители второго порядка.

Решение. Вычислим определитель разложением по элементам первой строки.

Наиболее рационально вычислять определитель разложением его по элементам строки (столбца), содержащей наибольшее количество нулей. Можно эти нули образовывать, используя свойство 7.

Вопрос 4. Определители высшего порядка

Определителем п -го порядка называется выражение вида

.

Такой определитель содержит п строк и п столбцов.

Для вычисления определителей четвертого и более высоких порядков необходимо использовать свойства определителей, понятия минора и алгебраического дополнения.

Вычисление определителей п -го порядка можно осуществлять путем последовательного понижения порядка определителя.

Например, по свойству 8 определителем п -го порядка будет число

где М _{1 к} – определитель порядка (п -1), полученный из исходного вычеркиванием первой строки и k -го столбца.

Пример. Вычислим определитель четвертого порядка

Дата добавления: 2014-01-20