Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью

Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т.е. Ν → ∞). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.
Устойчивое решение в такой системе существует только тогда, когда λ<μ, то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в противном случае очередь может разрастись до бесконечности.
Вероятность того, что в системе находится п заявок, вычисляется по формуле
P_n =(1-r)r ⁿ, n =0,1,2,…,
где r = λ/μ <1.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
;
среднее число клиентов в очереди на обслуживание:
L_q = L_S -;
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
W_q=;
Пример. Вспомнив о ситуации, рассмотренной в предыдущем примере, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т.е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

1. вероятности состояний системы (поста диагностики);
2. среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
3. среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе
   (на обслуживании и в очереди);
4. среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
5. среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение Параметр потока обслуживания и приведенная интенсивность потока автомобилей ρ определены в предыдущем примере:
μ=0,952; ρ=0,893.
Вычислим предельные вероятности системы по формулам
P ₀=1-r=1-0,893=0,107;
P ₁=(1-r)·r=(1-0,893)·0,893=0,096;
P ₂=(1-r)·r²=(1-0,893)·0,893²=0,085;
P ₃=(1-r)·r³=(1-0,893)·0,893³=0,076;
P ₄=(1-r)·r⁴=(1-0,893)·0,893⁴=0,068;
P ₅=(1-r)·r⁵=(1-0,893)·0,893⁵=0,061 и т.д.
Следует отметить, что Р ₀ определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10, 7%, так как Р₀=0,107.
Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
ед.
Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
час.
Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:
.
Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:
час.
Относительная пропускаемая способность системы равна единицы, так как все поступившие заявки рано или поздно будут обслужены:
q =1.
Абсолютная пропускная способность:
A =λ∙ q =0,85∙1=0,85.
Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятие ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывших автомобилей как в предыдущем примере было равно трем. Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностике автомобиль не имеет возможности присоединить к очереди:
m =λ∙ P_N.
В нашем примере при N =3+1=4 и r=0,893,
m =λ∙ P ₀∙ r⁴=0,85∙0,248∙0,8934=0,134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12∙0,134=1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуживающих клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) пост диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобиля, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличие всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

Дата добавления: 2014-01-20