Теорема о циркуляции

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δ l этого контура можно определить касательную составляющую В_l вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6. Замкнутый контур (L) с заданным направлением обхода. Изображены токи I 1, I 2 и I 3, создающие магнитное поле

Рисунок 5.7. Применение теоремы о циркуляции к тороидальной катушке

Циркуляцией вектора называют сумму произведений В_l Δ l, взятую по всему контуру L:

(5.7)

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур L в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура. Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ₀ на сумму всех токов, пронизывающих контур

. (5.8)

В качестве примера на рисунке 5.6 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи I ₂ и I ₃ пронизывают контур L в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, I ₃ > 0, а I ₂ < 0. Ток I ₁ не пронизывает контур L.

Теорема о циркуляции в данном примере выражается соотношением:

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, например, поля тороидальной катушки (рисунок 5.7). Катушка плотно намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. По теореме о циркуляции можно записать

B ∙ 2π r = μ₀ IN, где N – полное число витков, а I – ток, текущий по виткам катушки. Следовательно,

. (5.9)

Рисунок 5.8. Магнитное поле катушки конечной длины. В центре соленоида магнитное поле практически однородно и значительно превышает по модулю поле вне катушки

Рисунок 5.9. Применение теоремы о циркуляции к расчету магнитного поля бесконечно длинного соленоида

Если сердечник катушки тонкий, то есть r ₂ – r ₁ << r, то магнитное поле внутри катушки практически однородно. Величина n = N / 2π r представляет собой число витков на единицу длины катушки. В этом случае

B = μ ₀ I n. (5.10)

В это выражение не входит радиус тора, поэтому оно справедливо и в предельном случае r → ∞, когда каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинную прямолинейную катушку. Такие катушки называют соленоидами. Вдали от торцов соленоида модуль магнитной индукции выражается тем же соотношением, что и в случае тороидальной катушки.

Дата добавления: 2014-01-20