RLC-контур. Свободные колебания

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC -контур (рисунок 7.4).

Рисунок 7.4. Последовательный RLC -контур

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения . После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер. Закон Ома для замкнутой RLC -цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде (7.6)

где U=q/c – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, J = dq/dt – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), уравнение, описывающее свободные колебания в RLC -контуре примет вид:

(7.7)

Когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда

(7.8)

где . Уравнение (7.8) описывает свободные колебания в RLC -контуре в отсутствие затухания. По виду оно в точности совпадает с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения. Решением дифференциального уравнения (8) будет функция

q (t) = q ₀ cos(ω₀ t + φ₀), (7.9)

описывающая свободные гармонические колебания в электрическом контуре. Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

(7.10)

Амплитуда q ₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рисунок 7.4) после переключения ключа K в положение 2, q ₀ = C , φ₀ = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W _э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W _м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

. (7.11)

Рисунок 7.6. Затухающие колебания в контуре

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рисунок 7.6). Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны

затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F _тр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R электрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид.

(7.12)

Физическая величина δ = R / 2 L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

(7.13)

которая содержит множитель exp (–δ t), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени τ=1/, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

ДобротностьQ колебательной системы:

(7.14)

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

(7.15)

Для RLC -контура добротность Q выражается формулой:

(7.16)

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Дата добавления: 2014-01-20