Вычисление поверхностного интеграла 1 рода

Рис. 5.

Пусть поверхность однозначно проектируется на какую-либо координатную плоскость, например на , в область . Тогда площадь элемента поверхности , если этот элемент достаточно мал и его можно считать плоским с нормалью в точке , связана с площадью проекции этого элемента в декартовых координатах соотношением

,

где – угол между нормалью к поверхности в точке и осью (рис. 5)

Если поверхность задана уравнением , то вектор нормали в точке равен и косинус угла между этой нормалью и осью вычисляется по формуле:

.

Тогда .

Используя определение поверхностного интеграла, запишем

.

Следовательно, поверхностный интеграл первого рода сводится к двойному интегралу по формуле

или

,

где – уравнение поверхности , область – ее проекция в координатную плоскость .

замечание

Если поверхность задана неявным уравнением , то . Тогда поверхностный интеграл сведется к следующему двойному интегралу .

Задача

Вычислите массу части плоскости , расположенной в первом октанте, если задана ее плотность .

Дата добавления: 2014-01-20