Доказательство. Будем считать, что поверхность такова, что любая прямая, параллельная оси , пересекает её в одной точке

Будем считать, что поверхность такова, что любая прямая, параллельная оси , пересекает её в одной точке.

Положительное направление единичной нормали возьмём так, чтобы , то есть и - острый угол (рис.19).

Рис. 19.

Пусть – уравнение поверхности . Единичную нормаль к этой поверхности найдем, записывая уравнение поверхности в виде

и вычисляя градиент скалярной функции .

.

Поскольку третья координата положительна, то этот вектор направлен так же, как и заданная нормаль. Единичную нормаль получим, если нормируем этот вектор

.

Рассмотрим криволинейный интеграл:

.

Пусть – проекция замкнутого контура на плоскость . Направление обхода контура соответствует направлению обхода контура . Тогда

.

В последнем интеграле используем формулу Грина. Получим

.

Задача

Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура : .

Дата добавления: 2014-01-20