Физический смысл ротора. Безвихревое поле

Выясним физический смысл ротора в некоторой точке дифференцируемости поля . Для этого рассмотрим любой замкнутый контур , внутри которого лежит точка . Если – поверхность, в которой лежит контур и точка , то можно использовать теорему Стокса, записывая ее в виде

.

Используем теорему о среднем для поверхностного интеграла

,

где – некоторая точка внутри контура , а – площадь поверхности . Из последнего соотношения получим

.

Перейдем к пределу при так, чтобы контур стягивался в точку . Тогда

.

Проекция ротора векторного поля на единичную нормаль в точке равна пределу отношения циркуляции векторного поля вдоль контура , лежащего в перпендикулярной этой нормали площадке к площади области, ограниченной контуром при условии, что область стягивается в точку .

Следовательно, ротор характеризует вращательную способность поля в данной точке. Его направление параллельно оси вращения. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

замечание

Направление ротора – это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение.

Дата добавления: 2014-01-20