Плоскости перпендикулярны друг другу, если одна из них со­держит перпендикуляр к другой

Перпендикулярность прямых и плоскостей. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикуляр­на двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, одна из которых фронталь, а другая горизонталь.

Для перпендикулярности достаточно, чтобы указан­ными пересекающимися прямыми были любые прямые в данной плоскости, однако только горизонталь и фронталь позволяют полу­чить без искажений проекции прямого угла, образованного перпен­дикуляром к плоскости и фронталью (на П₂) и перпендикуляром к плоскости и горизонталью (на П₁). Тогда очевидно, что горизонталь­ная проекция этого перпендикуляра расположена под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.

Рассмотрим на примере. (Рис. 1.38, а)

Пусть плоскость задана DABC.Требуется построить перпен­дикулярную к ней прямую, проходящую через точку D.

Сначала вычертим главные линии плоскости - горизонталь и фронталь, затем из точки D₁, проведем перпендикуляр g₁, к h₁, а из точки D₂ - перпендикуляр g₂, к f₂, Математически можно записать так g ^ H (DABC).

Возвращаясь к рис. 1.38, а, где перпендикуляр к плоскости g уже построен, необходимо через точку D провести произвольную пря­мую n (рис. 1.38, б). В математической форме запись выглядит так Г(g ∩ n) ^ Н (DABC).

Вторая прямая n проводится произвольно, так как через перпендикуляр к плоскости можно построить веер плоскостей, перпендикулярных данной.

На рис 1.38, в изображена плоскость α перпендикулярная плоскости β. Плоскость α и β заданы следами.

Прямые взаимно перпендикуляр­ны, если на одной из них можно построить плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Пусть требуется построить перпендикуляр к прямой g, проходящий через точку А. Следуя вышеуказанному признаку, сначала нужно построить и плоскость, перпендикулярную g и проходящую через точку А. Эта плоскость будет задана фронталью f и горизонталью h, причем h₁ ^ g₁ u f₂ ^ g₂, а проек­ции h₂ и f₂, проводим параллельно оси ОХ. (Рис. 1.39)

Любая прямая, лежащая в этой плоскости, будет перпендикулярна g, например прямая АВ, полученная по точкам пересечения 1 и 2 с плоско­стью, заданной h и f. При решении этой задачи учитываем, что если мы хотим построить пересекающиеся перпендикулярные прямые, тогда прямая AВ должна быть построена единственным образом. А именно, сначала требуется найти точку В, пересечения g и плоскости H (h ∩ f), затем провести АВ. В нашем случае АВ выбра­на произвольно и точка В не является точкой пересечения g и плос­кости H (h ∩ f).

Позиционные задачи на плоскости. Позиционными называются задачи на определение каких-либо общих элементов геометрических объектов, например, точки пере­сечения прямой и плоскости, линии пересечения двух плоскостей.

Пересечение прямой и плоскости. Задачу на пересечение прямой и плоскости можно решать с по­мощью вспомогательной секущей плоскости, которая должна удовлетворять следующим условиям (рис. 1.40, 1.41):

- быть плоскостью частного положения, так как именно плос­кость частного положения проецируется на соответствующую плос­кость проекций в виде прямой;

- проходить через прямую, точку пересечения, которой с плоско­стью мы отыскиваем.

Пусть, например, даны прямая а и горизонтально проецирующая плоскость β (см. рис. 1.40, а). Тогда горизонтальная проекция К₁ искомой точки должна одновременно лежать на горизонтальной проекции β₁ плоскости β и на горизонтальной проекции β₁ прямой а, т. е. в точке пересечения а₁ с β₁ (К₁ = а₁ ∩ β₁). (Рис. 1.40, б) Фронтальная проекция К₂ точки К расположена на ли­нии проекционной связи и на фронтальной проекции β₂ прямой а.

Теперь рассмотрим один из частных слу­чаев пересекающихся плоскостей, когда одна из них — проецирующая.

На рис. 1.41, а приведены плоскость общего положения, заданная треугольником DABC, и горизонтально проецирующая плоскость α. Найдем две общие точки для этих двух плоскостей. Этими общими точ­ками для плоскостей DABC и α будут точки пересечения сторон АВ и ВС треу­гольника DABC с проецирующей плоско­стью α. Построение таких точек D и Е как на пространственном чертеже (рис. 1.41, а), так и на эпюре (рис. 1.41, б) производится аналогично.

Соединяя одноименные проекции точек D и Е, получим проекции линии пересече­ния плоскости DABC и плоскости α.

Таким образом, горизонтальная проек­ция D₁E₁ линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости α — с ее горизонтальным следом α ₁.

При решении задач на пересечение прямой с плоскостью следует выделить частный случай. Если плоскость зани­мает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения опреде­ляется в пересечении проекции прямой с проекцирующим следом плоскости, а другая проекция строится с помощью линии связи.

Рассмотрим примеры решения следующих задач.

Пусть плоскость занимает частное положение в пространстве, например, является горизонтально-проецирующей и задана DABC (рис. 1.42, а). Необходимо найти точку пересечения ее с прямой а, заданной произвольно. Поскольку на П₁ горизонтально—проециру­ющая плоскость вырождается в прямую, то горизонтальной проек­цией точки пересечения будет К₁. Далее по линии связи на прямой α₂ (очевидно, что точка пересечения К принадлежит прямой α) най­дем фронтальную проекцию К₂ точки пересечения.

Осталось определить видимые участки прямой а, поскольку на П₂ часть указанной прямой будет закрыта от наблюдателя плоско­стью DABC. Для этого необходимо рассмотреть точку, где пересекаются фронтальные проекции а с какой-либо прямой (например, АС), лежащей в плоскости DABC. Обозначим эту точку 1₂. Но пересекать­ся прямая а и DABC могут только в одной точке, которую мы отыс­кали (К₂). Все остальные будут точками, где они скрещиваются. Сле­довательно, прямые а и АС скрещиваются в пространстве. Значит, все точки, где пересекаются их проекции, будут конкурирующими, а именно 1₂ ≡ 2₂. Тогда на П₁ имеем по линии связи 1₁ Î A₁С₁ и 2₁ Î а₁. Видимой является точка 2, которая принадлежит прямой а. Это вы­полняется до точки пересечения К₂. Затем, естественно, участок прямой а будет невидим (обозначается пунктирной линией) до вы­хода из-под плоскости DABC. Теперь задачу можно считать решенной.

Рассмотрим общий случай пересечения прямой и плоскости, ког­да обе они занимают общее положение в пространстве.

Если заданна плоскость общего по­ложения, точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости. (Рис. 1.43, построение - рис. 1.44)

Для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью необходи­мо:

1) провести через прямую DE вспо­могательную проецирующую плоскость S (рис. 1.44, а);

2) построить линию MN пересечения данной плоскости и вспомогательной (рис. 1.44, б);

3) определить искомую точку К пересечения данной прямой DE с ли­нией пересечения плоскостей MN (рис. 1.44, в).

Решение задачи завершается опреде­лением видимых участков прямой. Видимость прямой относительно плоско­сти треугольника определяют путем разбора взаимоположения точек задан­ной прямой и сторон плоскости треу­гольника, совпадающих на проекциях, как было рассмотрено на рис. 1.42.

Задача на пересечение прямой с пло­скостью решается аналогичным обра­зом и в том случае, когда плоскость за­дана следами. (Рис. 1.45)

Пусть теперь необходимо найти точ­ку пересечения произвольно заданной прямой b с DABC. (Рис. 1.45, а)

Как рассматривалось выше, нужно через прямую b провести плоскость частного положения (например, фронтально-проецирующую). Ли­ния пересечения этой плоскости совпадает с прямой b на П₂, т. е. S ₂ = b ₂. Тогда по точкам пересечения 3₂ и 4₂ построим точки 3₁ и 4₁, а следовательно, и прямую 3₁,4₁, являющуюся горизонтальной проек­цией линии пересечения плоскости S и DABC. Так как прямая 3 4 Î DABC, то точка К₁ будет горизонтальной проекцией точки пересе­чения прямой b и DABC. По ней найдем и фронтальную проекцию К₂, которая, очевидно, должна быть расположена на b ₂ (ведь точка пересечения принадлежит и прямой b и DABC).

Определим видимые участки прямой b на обеих проекциях по конкурирующим точкам Для определения видимости на П₂ исполь­зуем фронтально-конкурирующие точки (например, точки 3₂=5₂, где скрещиваются b и АВ) Очевидно, что точка 3₁ ближе к нам, чем точка 5_l. Следовательно, на П₂ выше 3₂ тогда в этой точке А₂В₂ выше, а b₂ лежит под ней. Это верно только до точки пересечения К₂. Да­лее, естественно, выше будет b₂. Аналогично по горизонтально-кон­курирующим точкам (например, 6₁=7₁) определяем, что в точках 6₁=7₁ прямая B₁C₁ лежит выше, чем b₁, так как точка 7₂ расположена выше, чем точка 6₂. Невидимый участок прямой b обозначаем пунктирной линией.

Следует иметь в виду, что когда плоскость задана не плоской фигурой, можно говорить лишь о видимости отдельных участков прямой относительно плоскости, хотя такая постановка задачи вер­на и в случае плоской фигуры.

Предыдущую задачу можно сформулировать несколько иначе: определить видимость участков прямой b относительно точки ее пересечения с плоскостью, которая задана DABC, а не с самим DABC. Тогда невидимые участки левее точки К₂ и правее K₁ мы долж­ны были бы продлить до бесконечности.

Более наглядно эту особенность можно проинтерпретировать на примере (рис. 1.46, б), где плоскость задана пересекающимися пря­мыми а и b. Ход решения не отличается от предыдущего, но невидимость участков прямой с уже не ограничена геометрически­ми элементами, задающими плоскость.

Таким образом, чем бы ни была задана плоскость, точку ее пере­сечения с прямой можно найти, используя секущую плоскость част­ного положения, проходящую через эту прямую, а видимость (или невидимость) на плоскостях проекций отдельных участков прямой - с помощью конкурирующих точек.

Пересечение плоскостей. Метод вспомогательных секущих плоскостей. Поскольку линией пересечения двух плоскостей является пря­мая, то для ее построения необходимо определить лишь две точки пересечения плоскостей.

Для решения указанной задачи применяется метод вспомога­тельных секущих плоскостей, который заключается в следующем.

Вводятся две дополнительные плоскости, пересекающие задан­ные. Для каждой дополнительной (вспомогательной) плоскости строим линию ее пересечения с заданными плоскостями Точка пересечения двух полученных линий и будет точкой пересечения заданных плоскостей Поскольку дополнительных плоскостей две, то и точек пересечения заданных плоскостей тоже две Соединяя их, получаем линию пересечения плоскостей Разумеется, каждая дополнительная плоскость должна занимать частное положение в пространстве, тогда на плоскость проекций, к которой вспомогательная плоскость перпендикулярна, она проецируется в прямую. Иначе, если вспомогательная плоскость занимает общее положе­ние, введение дополнительной плоскости не упрощает решение задачи.

Рассмотрим на примерах общий случай. Пусть в пространстве заданы две плоско­сти общего положения α и β (рис. 1.47). Для построения линии их пересечения не­обходимо, как отмечалось выше, найти две точки, общие обеим плоскостям.

Для определения этих точек заданные плоскостипересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей целесообразнее взять прое­цирующие плоскости и, в частности, плоскости уровня. На рис. 1.47 первая вспомогательная плоскость уровня γ каж­дую из данных плоскостей пересекает по горизонталям h и h¹, которые определяют точку 1, общую для плоскостей α и β, а значит, и принадлежащую линии их пересечения. Взяв вторую вспомогатель­ную плоскость d, например, также парал­лельную П₁, получим еще одну точку — 2, общую плоскостям П₁. Эта точка опре­деляется пересечением горизонталей h² и h³, по которым вспомогательная плос­кость d пересекает каждую из данных плоскостей.

Описанный метод применен для эпюр построения проекций линии пересече­ния двух плоскостей, первая из которых задана двумя параллельными прямыми, а вторая — тремя точками. (Рис. 1.48) С по­мощью вспомогательной плоскости γ най­дена точка 1 как точка, в которой пересе­каются горизонтали h u h₁. Точно так же с помощью плоскости d определена вторая точка — 2.

Некоторого упрощения можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость, что и сделано на рис. 1.49, где построена линия 1—2 пересечения плоскостей α (DABC) и β (DDEF). Точка 1 этой линии определена с помощью фрон­тально проецирующейплоскости γ, прове­денной через сторону DE треугольника DEF. Именно эта сторона, проекции кото­рой заданы, и является линией пересечения плоскости DDEF и γ (DE = β ∩ γ).

Упрощение графического решения состоит в том, что не нужно чертить эту прямую, входящую в число элементов, задающих плоскость β.

Та же плоскость γ пересечет второй треугольник ABC по прямой KL (KL = γ ∩ α). Аналогично, проведя через сторону ВС горизонтально проецирующую плоскость d, найдем точку 2. На рис. 1.49 прямая ВC = d ∩ α, а MN = d ∩ β. Пересечение этих прямых определяет точку 2. Причем ее фронтальная проекция 2₂ строится раньше, чем 2₁. Точки 1 и 2 являются точками пересечения сторон одного треугольника.

1.5. Способы преобразования ортогонального чертежа.

Способы преобразования чертежа служат для решения метри­ческих задач по определению натуральной величины геометричес­ких объектов (отрезка прямой или плоскости), либо кратчайшего расстояния между геометрическими объектами.

Суть этих способов заключается в том, что необходимо преоб­разовать комплексный чертеж так, чтобы рассматриваемый геометрический объект занял положение, параллельное какой-либо плос­кости проекций, на которую он проецируется в натуральную вели­чину.

Такое преобразование комплексного чертежа может быть, осу­ществлено двумя основными способами:

- Способам вращения, прикотором оставляют неизменной сис­тему плоскостей проекций, а меняют положение заданного геометрического объекта путем его вращения вокруг одной или последо­вательно вокруг двух подходящим образом выбранных осей так, что­бы интересующие нас прямые или плоскости оказались параллельными одной из плоскостей проекций. В качестве оси вра­щения обычно выбирают прямую, перпендикулярную одной и из плос­костей проекций.

- Способ плоскопараллельного перемещения является способом вращения вокруг проецирующей оси, с той лишь разни­цей, что геометрический объект можно не только вращать, но и пере­мещать вдоль плоскости, параллельной одной из плоскостей проек­ции. Этот способ используется при решении задач на перемещение прямой линии в положение прямой уровня или проецирующей и преобразования плоскости общего положения в проецирую­щую или в плоскость уровня.

- Способом замены плоскостей проекций, при котором оставляют неизменным положение в пространстве геометрического объек­та, а заменяют одну или последовательно две плоскости проекций так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались па­раллельными одной из новых плоскостей проекций.

Этими способами также можно решать задачи ни приведение геометрических объектов в проецирующее положение.

- Способом совмещения. Если плоскость вращать вокруг ее сле­да до совмещения с плоскостью проекций, в которой располо­жен этот след, то геометрические образы, расположенные в плоскости, изобразятся без искажения.

Дата добавления: 2014-01-11