Пересечение поверхностей вращения

Линия является касательной к поверхности, если она имеет с ней одну общую точку и является касательной к любой кривой ли­нии, лежащей на этой поверхности. Такая точка называется точкой касания. Через одну точку на поверхности можно провести бесчисленное множество прямых, касательные к ней. При этом все касательные линии, проведенные к поверхности в данной точке, лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью.

Касательные линии и плоскости к поверхности.

Касательная плоскость является геометрическим местом всех ка­сательных, проведенных к данной кривой поверхности, проходящих через одну ее точку.

В обыкновенной точке поверхности может быть построена только одна определенная касательная плоскость. В особых точках она или не определена, или не единственная, например: вершина коничес­кой поверхности; любая точка ребра возврата у торса и т.п.

Прямая п, проходящая через данную точку поверхности М пер­пендикулярно к касательной плоскости Т, называется нормалью по­верхности. (Рис. 1.86, а)

Для построения касательной плоскости в данной точке достаточно провести через эту точку две прямые, каждая из которых касается линий поверхности.

Если известна нормаль в данной точке, то два перпендикуляра к ней определяют касательную плоскость.

Существуют три случая взаимного расположения поверхности и касательной к ней плоскости:

- касательная плоскость и поверхность имеют единственную точку - точку касания (рис. 1.86, а);

- плоскость касается поверхности по линии t - прямой или кри­вой (рис. 1.86, б, в);

- плоскость, касаясь поверхности в единственной точке М, пере­секает ее по кривой линии (тор) или по двум прямым (однополостный гиперболоид вращения) (рис. 1.86, г).

Пересечение поверхности вращения плоскостью. В зависимости от положения секущей плоскости линия пересе­чения с поверхностью вращения имеет разную форму

Цилиндр. Если секущая плоскость параллельна осно­ванию, то линией пересечения с прямым цилиндром является ок­ружность. Если плоскость расположена под углом к основанию, тогда – эллипс. В случае, когда секущая плоскость перпендикулярна основанию, линия пересечения – прямоугольник.

Сфера. Линией пересечения плоскости со сферой является ок­ружность, независимо от положения секущей плоскости.

Тор. Если секущая плоскость перпендикулярна оси тора, то в сечении получаем кольцо (в частном случае круг). Когда секущая плоскость расположена под иным углом к оси тора, линия пересече­ния представляет собой пару окружностей, эллипсов, один эллипс, либо по форме похожа на цифру «8».

Конус. Наибольшее многообразие представляют кони­ческие сечения. Когда секущая плоскость конуса:

- параллельна основанию конуса, тогда линия пересечения — окружность;

- пересекает две образующих конуса, тогда линия пересе­чения – эллипс;

- параллельна образующей, тогда линия пересечения - парабо­ла;

- пересекает одну образующую, тогда линия пересечения — ги­пербола;

- проходит через вершину конуса, тогда в сечении имеем треу­гольник.

Рассмотрим построение проекций на примере сечения прямого конуса, различно расположенными вышеназванными плоскостями, которые отсекают часть конуса. Как видим, на рис. 1.87 представле­но все многообразие расположения секущих плоскостей, которые являются фронтально-проецирующими.

Построим горизонтальную проекцию конуса, усеченного заданными плоскостями.

Линия пересечения представляет собой на участках S1 - отре­зок прямой, 12 - дугу окружности, 23 - участок параболы, 34 - уча­сток эллипса, 45 – гиперболу.

Для решения задачи достаточно построить горизонтальные про­екции точек 1, 2, 3, 4, 5, расположенных на поверхности конуса, и соединить их линией. Например, проекция 1₁ строится следующим образом: через точку 1₂ проводим горизонтальную прямую до пересечения с конту­ром конуса в точке 6₂, затем радиусом S₁ 6 ₁ проводим дугу окружно­сти и на ней по линии связи с точкой 1₂ находим точку 1₁. Аналогич­но строится горизонтальная проекция любой точки на поверхности конуса. Выбирая по мере необходимости промежуточные точки, получа­ем окончательное решение.

Профильную проекцию можно построить на основании правила взаимосвязи проекций. При этом необходимо учитывать контурные точки 7, 8, профильные проекции которых лежат на контуре S₃A₃. Поскольку участок образующей SA между точками 7 и 8 «вырезан» секущими плоскостями, как видно на П₂, то и на П₃ он отсутствует между точками 7₃, и 8₃.

Относительно осей Ф₁ и Ф₃ получаем симметричную картину, поэтому достаточно построить проекции на половине конуса. На чертеже (см. рис. 1.87, а) указываем линии пересечения секу­щих плоскостей, невидимые проекции которых обозначены пунк­тирной прямой.

Натуральная величина сечения. В качестве примера рассмотрим натуральную величину сечения ко­нуса плоскостью на участке 23. Для этого используем способ замены плоскостей проекций.

Ввиду того, что пространство чертежа не позволяет построить новую ось X_{2 4} параллельно прямой 2₂3₂, начертим ее отдельно (см. рис. 1.87, б). Отметим точки 2, 9, 3, расстояние между которы­ми равно расстоянию между точками 2 ₂, 9₂, 3₂. Из каждой точки про­ведем перпендикуляр к оси, на котором откладываем расстояние от горизонтальных проекций 2₁, 9₁, 3₁ любой из точек до оси Ф₁, кото­рая выполняет роль оси П₂/П₁. Получаем точки 2₄, 9₄, 3₄ соединив которые кривой линией, построим натуральную величину сечения. На чертеже (см. рис. 1.87, б) сечение заштриховано наклонными прямыми.

Аналогично можно получить натуральную величину любого се­чения. Очевидно, что натуральную величину сечения горизонталь­ной плоскостью имеем без дополнительных построений на П₁, а вер­тикальной плоскостью - на П₃.

Пересечение поверхности вращения многогранником. При пересечении поверхности вращения многогранником их общим геометрическим элементом является некоторая линия.

Рассмотрим построение этой линии на примере решения зада­чи о пересечении прямой трехгранной призмы и сферы. (Рис. 1.88)

Поскольку боковые грани призмы перпендикулярны к П₁ то го­ризонтальная проекция линии пересечения призмы и сферы совпа­дает с горизонтальной проекцией призмы.

Остается построить фронтальную проекцию линии пересечения. Так как по двум проекциям геометрического объекта легко постро­ить третью, то здесь мы ограничимся построением горизонтальной и фронтальной проекций.

Применим метод вспомогательных секущих плоскостей, в каче­стве которых выберем фронтальные плоскости уровня, проходящие через характерные 1, 3, 5 и промежуточные 2, 4 точки, лежащие на линии пересечения призмы и сферы. Их горизонтальные проекции 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁ показаны на рис. 1.88.

Линией пересечения фронтальной плоскости уровня со сферой является окружность, для построения которой на П₂ достаточно из­мерить расстояние от вертикальной оси до контура сферы на П₁, а затем этим радиусом на П₂ провести окружность.

Рассмотрим построение фронтальной проекции какой-либо точ­ки, например, точки 2. Проводим через нее фронтальную плоскость Ф*. Затем измеряем расстояние от точки 6₁ до 7₁, и этим радиусом проводим дугу окружности из точки О₂. Искомая точка лежит на пересечении этой дуги с линией связи, проведенной из точки 2₁.

Аналогично строятся точки 1₂, 4₂, 5₂. Через точку 3 нет необходимо­сти проводить вспомогательную секущую плоскость, так как она лежит на контуре сферы в проекции на П₂, и для построения точки 3₂ достаточно провести из точки 3₁ линию связи до пересечения ее с контуром сферы. Соединив точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5 ₂, получаем один из участков искомой линии.

Так как участок линии между точками 5 и 8 лежит на фронталь­ной плоскости Ф***, что видно по его горизонтальной проекции 5₁8₁, то между точками 5₂ и 8₂ линия пересечения призмы и сферы пред­ставляет собой дугу окружности, проведенной через точку 5₂.

В связи с тем, что рассматриваемые поверхности симметричны относительно горизонтальной и профильной плоскостей уровня, искомая линия пересечения в проекции на П₂ симметрична относи­тельно вертикальной и горизонтальной осей, и ее построение не вызывает дополнительных трудностей.

Видимость линий определяется по видимости точек так же, как в предыдущих построениях.

Используя метод вспомогательных секущих плоскостей, можно построить линию пересечения любых поверхностей вращения и мно­гогранников. Если при построении линий пересечения вспомогатель­ных секущих плоскостей и рассматриваемых поверхностей возни­кают затруднения, тогда необходимо способом замены плоскостей проекций получить проекции указанных поверхностей в более удоб­ном виде.

Некоторые особые случаи пересечения поверхностей. В некоторых случаях расположение, форма или соотноше­ния размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пересечения никаких сложных построе­ний не требуется. К ним относятся пересечения цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.

Изображения пересечения цилиндров с параллельными об­разующими приведены на рис. 1.89, а, конусов с об­щей вершиной — на рис. 1.89, б.

Соосные поверхности вращения. Изображения пересечений соосно расположенных различных поверхностей вращения при­ведены на рис. 1.90. Конус, пересекающийся с двумя цилин­драми разного диаметра (рис. 1.90, а), часто используют при конструировании как переход от одного диаметра к другому.

Конус, сопряженный со сферой, с переходом на цилиндры (рис. 1.90, б), широко используют в качестве деталей меха­низмов управления — рукояток.

Комбинацию из трех соосных пересекающихся конусов (рис. 1.90, в) применяют при конструировании деталей, на­зываемых штифтами или роликами. Крайние конические по­верхности, называемые фасками, служат для упрочения кромки детали и предохранения тем самым от забоин основной рабо­чей конической поверхности. Комбинация из пересекающих­ся трех соосных конусов образует центровое гнездо для обработки деталей в центрах. Для предохранения от повреждений рабо­чей конической поверхности 1 при соприкосновении (ударах) с другими деталями служит наружный конус 2.

Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы. П римеры изображения линии пересечения поверх­ностей вращения, описанных вокруг одной сферы, рассмотре­ны на рис. 1.91.

В случаях, показанных на рис. 1.91, а, б, поверхности двух цилиндров, конуса и цилиндра пересекаются по двум эллип­сам с проекциями 1₂2₂ и 3₂4₂.

В случае, показанном на рис. 1.91, в, пересечения кону­сов с вершинами S₂* и S₂, у которых имеются две параллельные образующие, линии пересечения — эллипс с проекцией 1₂2₂ и парабола с вершиной в точке с проекцией 3₂.

Рассмотренные примеры пересечения двух поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы, являются частны­ми случаями, следующими из теоремы Монжа.

Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка (эллипс, гиперболу, параболу). Причем, плоскости этих кривых проходят че­рез прямую, соединяющую точки пересечения линии касания.

Рассмотрим решение задачи о нахождении линии пересечения конуса и цилиндра, изображенных на рис. 1.92, применяя теорему Монжа, что значительно упрощается такое решение.

Как видим, обе рассматриваемые поверхности описаны вокруг сферы. Построим решение сначала на П₂. Очевидно, точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ являются точками пересечения конуса и цилиндра, так как лежат на контурных образующих. Тогда в соответствии с теоремой Монжа решением являются две прямые, проходящие через точки 1₂ и 3₂ и точки 2₂ и 4₂, т. к. эти прямые представляют собой фронтальные проекции плоскостей, согласно теореме.

В данном случае полученные линии пересечения цилиндра и конуса являются эллипсами, построение которых на П₁ ничем не отличается or построения любой линии, лежащей на поверхности конуса. Выбирая точки на фронтальной проекции каждой из линий 13 и 24, получаем их горизонтальные проекции.

Точки I, 2, 3, 4 лежат на образующей конуса, параллельной П₂, поэтому их положение на П₁ можно найти по линии связи, проходя­щей через 1₂, 2₂, 3₂, 4₂. Точки 5 и 6 выбраны на образующей цилин­дра, также параллельной П₂, что позволяет по фронтальным проек­циям 5₂ и 6₂, найти горизонтальные проекции 5₁ и 6₁, соответственно, которые являются точками перехода видимой части горизонтальной проекции линий пересечения цилиндра в конуса в невидимую.

Точка 7 является точкой касания цилиндра и конуса. Ввиду сим­метрии относительно фронтальной плоскости уровня решение на П₁ симметрично относительно горизонтальной оси, а на П₂ види­мые участки линии пересечения совпадают с невидимыми.

Дата добавления: 2014-01-11