Приведение сил и масс в механизмах

C O

6 в) План ускорений μ_а =.

D у 6 k d₃

4 6 P_a

5 d₅, S₅ S₃

n_ВС

г) Структурная группа 4-5 и ее план сил в

R₃₄ μ_Р1=… S₁ S₂

P_и5 R₆₅ P_P R₃₄

D a n_ВА

G₅ R₆₅

G₅ P_и5

μ_Р2 =…

д) Структурная группа 2-3 и ее план сил Rⁿ₁₂

P^´_и2 P^´_и3 P_P

h₃ R₆₃ R₁₂

М_РИ2 G₃ R^t₁₂

h₄ B S₂ T₂ A Rⁿ₆₃

P^´_и3 Rⁿ₁₂ R₄₃ G₂

М_Ри3 S₃ K₃ R₆₃ G₂ R^t₁₂ R₁₂ R^t₆₃ P^´_и2

R^t₆₃ C ж) Рычаг Жуковского μ_υ=…

h₂ h₁ P_и5

Rⁿ₆₃ G₃ d₅ d₃

G₅

R₄₃

P_υ h₁

е) Механизм I класса и его план сил Р_и3 h₅

R₂₁ μ_Р3 =… P_P Р_и1

P_и1 R₆₁ Р^´_и3 s₃ s₁

A h₂ k₃ G₁

P_ур s₁ R₆₁ G₁ G₃ Р^´_и2

O R₂₁ в s₂ t₂ a

G₂ h₄

h₁ P_и1 P_ур h₃ h₂

G₁

Рисунок 3.14 - Пример силового расчета шестизвенного механизма

3. Силовой (кинетостатический) расчет шестизвенного механизма.

Определяем силы тяжести: G₁ = m₁g = (H), G₂ = m₂g = (H),

G₃ = m₃g = (H), G₅ = m₅g = (H).

Определяем силы инерции: Р_и1 = -m₁a_S1 = (Н), Р_и2 = -m₂a_S2 = (Н),

Р_и3 = -m₃a_S3 = (Н), Р_и5 = -m₅a_S5 = (Н).

Определяем моменты от сил инерции: М_Ри2 = -ξ₂J_S2 = (Нм),

М_Ри3 = -ξ₃ J_S3 = (Нм), М_Ри1 = М_Ри4 = М_Ри5 = 0.

Определяем направление моментов. Момент от силы инерции направлен в противоположную сторону угловому ускорению. Т.е.: М_Ри2 и М_Ри3 направлены против часовой стрелке (рисунок 3.14, а).

Определяем реакции в кинематических парах. Для этого выполняем структурный анализ (глава 1, §1.7). В данном механизме имеется одна структурная группа II класса 1 вида и одна структурная группа II класса 4 вида. Как указывалось в п. 3.1.4.1, силовой расчет начинаем с последней группы, т.е. с группы 4 вида. Порядок проведения силового расчета данной структурной группы рассмотрен в п. 3.1.4.3, Задача 4. Изображаем структурную группу в том же масштабе и том же положении, что и схема механизма (рисунок 3.14, г). Прикладываем G₅ вертикально вниз и Р_и5 в обратную сторону вектору а_D5. Составляем векторное уравнение плана сил, из которого находим R₆₅ и R₃₄:

, .

Высчитываем масштабный коэффициент плана сил μ_Р1 = Р_и5 /[ Р_и5 ] =(Н/мм). Затем считаем вектор силы тяжести [ G₅ ] = G₅ / μ_Р1 = (Н). Построение начинаем согласно уравнению с вектора G₅. К концу вектора G₅ прикладываем вектор Р_и5. Направление реакций нам известны: R₆₅ направлена вертикально, R₃₄ направлена перпендикулярно звену ВD (глава 3, п. 3.1.4.1). Поэтому из начала построения проводим линию действия R₃₄ перпендикулярно ВD, а из конца Р_и5 – линию действия R₆₅ вертикально. Точка пересечения даст начало R₃₄ и конец R₆₅ (рисунок 3.14, г). Определяем действительные значения реакций

R₆₅ = [ R₆₅ ] μ_Р1 = (Н);

R₃₄ = [ R₃₄ ] μ_Р1 = (Н).

Приступаем к силовому расчету структурной группы 1 вида (группа 2-3). Изображаем ее в том же масштабе, что и схема механизма (рисунок 3.14, д). В точке S₂ прикладываем G₂ вертикально вниз Р_и2 в обратную сторону вектору a_S2. В точку S₃ прикладываем G₃ и Р_и3. Прикладываем направления моментов. Заменяем момент инерции и силу инерции одной силой, приложенной не в центре масс. Для шатуна имеем: h_Ри2 = М_Ри2 / Р_и2μ_ℓ =(мм); для кулисы - ℓ_СК3 = ℓ_СS3+(Ј_S3 / m₃ℓ_СS3) = (м). Переносим силу Р_и2 параллельно самой себе на величину h_Ри2, получаем замененную силу Р′_и2 и точку ее пересечения со звеном АВ (точку Т₂). Для нахождения точки приложения Р′_и3 необходимо от точки С в сторону к точки В отложить расстояние СК₃ = ℓ_СК3/μ_ℓ = (мм) и перенести силу Р_и3 параллельно самой себе в точку К₃. По величине и направлению замененные силы будут равны действительным, т.е.:

Р′_и2 = Р_И2; Р′_и3 = Р_и3.

Прикладываем реакции: в точках А и С будут действовать нормальные составляющие Rⁿ₁₂ и Rⁿ₆₃, направленные параллельно звеньям, и тангенциальные составляющие R^t₁₂ и R^t₆₃, направленные перпендикулярно звеньям. В точке D будет действовать реакция R₄₃, которая равна по величине реакции R₃₄, но противоположна по направлению: R₄₃ = -R₃₄.

Далее расчет ведем аналогично п. 3.1.4.3, Задача 1. Составляем уравнения моментов каждого из звеньев относительно точки В:

= 0, R^t₁₂ АВ - Р′_и2h₃ + G₂ h₁ = 0;

= 0, R^t₆₃ СВ - Р′_и3h₄ + G₃h₂ + R₄₃CD = 0.

Из этих уравнений выражаем тангенциальные реакции. Составляем векторное уравнение плана сил:

, .

Высчитываем масштабный коэффициент плана сил

μ_Р2 = R^t₁₂ /[ R^t₁₂ ] = (Н/мм).

Построение векторного многоугольника начинаем с реакции R^t₁₂. Далее к концу каждого вектора прибавляем следующий согласно уравнению. Вектора сил переносим параллельно со структурной группы. Дины векторов высчитываются по формуле

[ G₂ ] = G₂ / μ_Р2 = (мм), [ Р′_и2 ] = Р′_и2 / μ_Р2 = (мм) и т.д.

Затем из начала построения проводим линию действия Rⁿ₁₂ параллельно АВ, а из конца построения – линию действия Rⁿ₆₃ параллельно BD. На пересечении получаем точку, которая является началом Rⁿ₁₂ и концом Rⁿ₆₃. Соединяем начало Rⁿ₁₂ с концом R^t₁₂ – получаем вектор реакции R₁₂. Соединяем начало R^t₆₃ с концом Rⁿ₆₃ – получаем вектор R₆₃ (рисунок 3.14, д). Найдем реакцию во внутреннем шарнире R₂₃ (см. п.1.4.3, Задача 1). Составим уравнение:

, .

Находим действительные значения полученных реакций

R₁₂ = [ R₁₂ ] μ_Р2 =

R₆₃ = [ R₆₃ ] μ_Р2 = (Н).

R₂₃ = [ R₂₃ ] μ_Р2 =

Приступаем к силовому исследованию ведущего звена (механизму I класса). Изображаем кривошип с опорой в том же масштабе и положении. В точку S₁ прикладываем силу тяжести G₁ вертикально вниз и силу инерции Р_и1, которая параллельна ускорению a_S1, но направлена в противоположную сторону. К точке А прикладываем реакцию R₂₁, которая по величине равна R₁₂, но противоположна по направлению (R₂₁=-R₁₂). В точку А прикладываем и уравновешивающую силу Р_ур, которая направлена перпендикулярно звену ОА (рисунок 3.14, е). Силовой расчет проводим по 1-му методу (п. 3.1.5). Составляем уравнение моментов относительно точки О:

∑М^._О = 0, Р_урОА - R₂₁h₂ + G₁h₁ = 0,

из которого выражаем уравновешивающую силу Р_ур. Составляем векторное уравнение механизма I класса:

, .

План сил строим аналогично (см. п. 1.4.3). Соединяя начало вектора силы Р_ур с концом вектора R₂₁, получаем вектор реакции R₆₁ и находим действительное ее значение

R₆₁ = [ R₆₁ ] μ_Р3 = (Н).

Итак, мы определили реакции в кинематических парах и Р_ур методом планов. Рассчитаем уравновешивающий момент

М_ур=Р_урℓ_OA =(Нм)

и мощность двигателя

N_дв= М_урω₁ = (Вт).

Теперь выполним проверку определения Р_ур методом Н.Е.Жуковского.

4. Рычаг Н.Е. Жуковского. Строим план скоростей, повернутый на 90^о в сторону вращения угловой скорости (можно в обратную) относительно точки полюса Р_υ. Точки s₁, s₂, s₃, t₂ и k₃ находим по п.2. правила подобия (п. 2.4.2):

ℓ_OS1 / ℓ_OA =[ Р_υs₁ ]/[ Р_υa ];

ℓ_AВ / ℓ_AS2 =[ aв ]/[ as₂ ];

ℓ_CS3 / ℓ_BC =[ Р_υs₃ ]/[ Р_υв ];

ℓ_AВ / ℓ_AТ2 =[ aв ]/[ at₂ ];

ℓ_CК3 / ℓ_BC =[ Р_υk₃ ]/[ Р_υв ].

Определяем отрезки [ Р_υs₁ ], [ as₂ ], [ Р_υs₃ ], [ at₂ ], [ Р_аk₃ ] в мм и отмечаем их на соответствующих векторах. Со структурных групп и с механизма I класса параллельно переносим все силы. Силы тяжести G₁, G₂, G₃ прикладываем в точки s₁, s₂, s₃; силу инерции Р′_и2 прикладываем в точку t₂; Р′_и3 – в точку k₃; Р_и1 – в точку s₁; G₅ и Р_и5 – в точку d₅; Р′_ур – в точку a. Реакции не прикладываются! Составляем сумму моментов относительно полюса Р_υ:

SМ_Рυ= 0, Р′_ур [ Р_υa ] +G₁h₁-G₂h₂-G₃h₃+ Р′_и2h₄+ Р′_и3h₅+ Р_и5 [ Р_υd₅ ] = 0

и выражаем Р′_ур. Рассчитаем процент ошибки между двумя методами. Расхождение не должно составлять более 5%:

Δ=(Р_ур- Р´_ур)/ Р_ур≤5%.

Определяем мощность двигателя

N_дв = Р_ур υ_А. = (Вт).

На этом силовой расчет шестизвенного механизма считается законченным.

3.1.9.1 Приведенные силы и моменты

При исследовании движения механизма, находящегося под действием заданных сил, удобно все силы, действующие на звенья, заменять силами, приложенными к одному из звеньев механизма. Такие заменяющие силы получили название приведенных сил.

Приведенная сила или приведенный момент – условная сила или момент пары сил, которые приложены к звену приведения и развивают мощность, равную сумме мощностей, развиваемых звеньями. Т.е.:

Р_пр=∑N_i / υ_пр; (3.41)

М_пр=∑N_i / ω_пр, (3.42)

где N_i - мощность, развиваемая i-тым звеном; υ_пр - линейная скорость звена приведения, ω_пр – угловая скорость звена приведения.

Звено механизма, к которому приложена приведенная сила, называется звеном приведения. Точка приложения приведенных сил называется точкой приведения. За звено приведения обычно принимается звено, закон движения которого задан. Таким звеном является кривошип.

Известно, что мощность приведенных сил, есть производная работы по времени

N_i = dA / dt. (3.43)

Работа есть произведение силы на расстояние

dA / dt = (Р_прdS)/ dt. (3.44)

Т.к. производная расстояния по времени есть скорость (dS / dt = υ_пр), то

dA / dt = Р_прυ_пр (3.45)

или, учитывая формулы (3.43) и (3.45), имеем:

N_i = Р_прυ_пр. (3.46)

Работа вычисляется по формуле (см. п. 3.1.6):

dA / dt =SР_ίυ_ίcosα_ί + SМ_ίω _ί

или, учитывая уравнение (3.43), получим:

N_i= SР_ίυ_ίcosα_ί + SМ_ίω _ί. (3.47)

Приравнивая равенства (3.46) и (3.47)

Р_прυ_пр =SР_ίυ_ίcosα_ί + SМ_ίω _ί

и, выразив приведенную силу, получим выражение для Р_пр

. (3.48)

Приведенный момент и приведенная сила связаны между собой зависимостью

М_пр= Р_прℓ_ОА = (Нм). (3.49)

Подставив формулу Р_пр в формулу М_пр и, учитывая, что ℓ_ОА= υ_пр / ω_пр, получим

. (3.50)

Сравнивая формулы (3.48) и (3.34) из п. 3.1.6, увидим идентичность этих выражений. Поэтому имеет место следующий вывод.

Рур А Рпр w1   О

Приведенная сила, также как и уравновешивающая, приложена перпендикулярно кривошипу (звену приведения), равна ей по величине, но противоположна по направлению, т.е.: Рпр=-Рур.

Поэтому, чтобы определить приведенную силу, можно воспользоваться соотношениями (3.34), (3.48), использовать последовательный силовой расчет механизма и ведущего звена или применить «жесткий» рычаг Н.Е. Жуковского.

3.1.9.2 Приведенные массы и приведенные моменты инерции.

Кинетическая энергия механизма

Для начала рассмотрим кинетическую энергию механизма.

При поступательном движении кинетическая энергия вычисляется по формуле:

Т_пост ==(Дж).

Для вращательного движения формула кинетической энергии имеет вид:

Т_вр==(Дж).

Для звена, имеющего сложное (плоскопараллельное) движение, кинетическая энергия будет вычисляться следующим образом:

Т_сл= =(Дж).

Кинетическая энергия всего механизма будет равна сумме кинетических энергий отдельных его звеньев:

Т_мех = =(Дж), (3.51)

где m_i - масса i -того звена, υ_i - скорость i -того звена, J_Si - осевой момент инерции i -того звена, ω_i - угловая скорость i -того звена.

Теперь определим, как находятся приведенная масса и приведенный осевой момент инерции. Для начала дадим их определение.

Приведенная масса (приведенный момент инерции) – условная масса (условный момент инерции), сосредоточенные в точке приведения, кинетическая энергия которых равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма, т.е.:

m_пр= =(кг); (3.52)

J_пр= = (кгм²). (3.53)

Подставляя выражение (3.51) в формулы (3.52) и (3.53), получим:

m_пр= =(кг); (3.54)

J_пр = = (кгм²). (3.55)

Приведенная масса и приведенный момент инерции связаны между собой соотношениями:

J_пр= m_прℓ_ОА = (кгм²). (3.56)

Сравнивая формулы (3.51), (3.54) и (3.55), можно заметить, что числители одинаковы. Поэтому, зная связь между Т, J_пр и m_пр, можно легко определить каждую из этих величин.

Вопросы для самоконтороля

1. Дайте определение силе движущей, силе сопротивления.

2. Напишите формулу, по которой определяется модуль главного вектора силы инерции звена. Расскажите, как направлен этот вектор.

3. Расскажите о последовательности определения реакций в многозвенном механизме.

4. Расскажите о последовательности определения реакций в группе Ассура.

5. Расскажите, как с помощью рычага Н.Е. Жуковского определить уравновешивающую силу (уравновешивающий момент).

6. Что называют механической характеристикой машины? Индикаторной диаграммой двигателя?

7. Дайте определение приведенной силы (приведенного момента), приведенной массы (приведенного момента инерции звеньев механизма).

8. Докажите, что приведенный момент инерции звеньев механизма не зависит от угловой скорости звена приведения.

Дата добавления: 2014-01-20