Свойства, выражаемые неравенствами

I.Если функция интегрируема на сегменте и для всех из , то

, (a<b).

Доказательство следует из того, что для любого разбиения и любого выбора интегральная сумма .

В этом случае предел интегральных сумм тоже будет неотрицателен. Действительно, допустим, что предел этих сумм отрицателен. Пусть . Выберем разбиение такое, что .

Но последнее неравенство может выполнятся, только если , что противоречит условию . Тало быть,

.

Ч.т.д.

V.Если функции и интегрируемы на сегменте и для всех из , то

.

Доказательство:

Действительно, функция интегрируема и неотрицательна на , так что . Но тогда, в силу свойства III,

.

Ч.т.д.

VI.Пусть функция непрерывна и неотрицательна на . Если существует хотя бы одна точка , в которой , то найдётся положительное число такое, что

.

Доказательство:

Пусть . Тогда в силу непрерывности функции в точке найдётся такая окрестность точки , что для любого сегмента , лежащего целиком в этой окрестности, будет выполнено неравенство . Но тогда в силу V и

.

Ч.т.д.

VII.Если Функция интегрируема на , (a<b), то

Доказательство:

Существование последнего интеграла следует из свойства I интегрируемых функций. Выберем число так, чтобы . Очевидно, что . Тогда

.

Ч.т.д.

Проще рассмотреть непосредственно интегральные суммы.

и перейти к пределу при .

Рассмотрим разбиение на части. Очевидно , переходя к пределу при , получим требуемое.

VIII.Если интегрируема в , где , и если во всём этом промежутке имеет место неравенство: , то

Дата добавления: 2014-01-20