Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Пусть фигура на плоскости x O y ограничена кривыми y = j (x), y = y (x), j (x)≤ y (x) и прямыми x = a, x = b (a ≤ x ≤ b) и пусть по этой криволинейной трапеции равномерно распределена масса, так что поверхностная плотность постоянна. Тогда статические моменты M_x и M_y относительно осей O x и O y соответственно, выражаются интегралами

M_x =, M_y =.

Центр тяжести фигуры имеет координаты

x _c=, y _c=,

где S - площадь фигуры.

6.5. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями x = 0, x =, y = 0, y = sin x (плотность ρ =1).

Решение. Найдём в начале статические моменты M_x и M_y.

M_x ===.

M_y ====sin x =1.

Найдём площадь фигуры.

S ===1.

Находим координаты центра тяжести фигуры:

x _c=1, y _c=.

39.

6.6. Скорость точки меняется по закону v =. Найдём путь, пройденный точкой за первые девять секунд после начала движения.

6.7. Реактивный самолёт в течении 20 сек увеличил свою скорость от 360 до 720 . Считая движение самолёта равноускоренным, найти, с каким ускорением летел самолёт и какое расстояние пролетел он за это время.

Указание. Скорость равноускоренного движения выражается формулой v = v ₀+ at, где v ₀ - начальная скорость, a - ускорение, t - время.

6.8. Вычислить силу давления воды (удельный вес γ = 1) на каждую из сторон погружённой вертикально в неё пластинку, имеющую форму равнобедренного треугольника с основанием a м и высотой h м, предполагая, что вершина треугольника лежит на свободной поверхности воды, а основание параллельно ей.

6.9. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 н она растягивается на 1см?

6.10. Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом P с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h.

Указание: F (x)=, где x - расстояние от центра Земли, m_р - масса ракеты, m_з - масса Земли, k - коэффициент пропорциональности, , где R - радиус Земли.

6.11. Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из котла, имеющего форму полусферы радиуса R.

6.12. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y =2 x - x ²,

y =0 (плотность ρ =1).

Дата добавления: 2014-01-20