Пример 2.Магнитное поле на оси кольцевого тока

Рассчитаем индукцию магнитного поля в точке А, находящейся на оси кольцевого тока I радиуса R на расстоянии а от его центра (рис. 4,а).

На рис. 5, а указаны вектора , созданные верхним и нижним элементами тока в точке А. Они образуют угол b с вертикальным направлением. Вектора , созданные всеми элементами тока, образуют конус векторов и из соображений симметрии следует, что суммарный вектор в точке А будет направлен по оси кольца. Проектируя уравнение (9) на ось Ох, получим

Рис. 4

. (11)

Для центра кольцевого тока (точка 0) и поэтому

. (12)

Линии кольцевого тока представляют собой окружности, перпендикулярные плоскости кольца, их направление связано правилом правого буравчика с направлением тока (рис. 4,б).

Магнитное поле в центре кругового тока. , где - радиус кривизны проводника, h – расстояние от центра проводника (контура) до точки, в которой определяется .

Магнитное поле на оси кругового тока. , (1.12)

где - радиус кривизны проводника.

§ 3. Основные законы магнитного поля

Магнитное поле, как и электрическое, обладает двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основные законы МП.

Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля . Как и любое другое векторное поле, поле может быть представлено наглядно с помощью линий вектора .

Линии магнитной индукции — линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Их направление задается правилом правого винта (буравчика): если поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока, то вращение рукоятки буравчика указывает направление линий поля. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. (рис 4)

рисунок 4.

Линии кругового (кольцевого) тока представляют собой окружности, перпендикулярные плоскости кольца. Следует помнить, что линии В всегда замкнуты.

Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S

. (1.13)

Линии проводят так, чтобы их густота определяла модуль вектора в данной точке поля. Поэтому согласно формуле (13) магнитный поток Ф будет пропорционален количеству линий , пронизывающих поверхность S.

Единица измерения магнитного потока – Вб. 1 Вб (вебер) — магнитный поток, проходящий через плоскую поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл. 1Вб=1 Тл·м².

1. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции . Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

. (1.14)

Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает в постулативной форме экспериментальный факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Поэтому число линий вектора , выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

Теорема Гаусса для поля в дифференциальной форме имеет вид:

, (1.14’)

т.е. дивергенция поля всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов) в противоположность полю электрическому. Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи. В этом заключается физический смысл т. Гаусса для поля .

Циркуляция вектора магнитной индукции ,

2. Теорема о циркуляции вектора (закон полного тока для магнитного поля в вакууме и в веществе)

Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна произведению на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром.

, (1. 15)

где - величины алгебраические: ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 5: здесь токи иположительные (т.к. их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта), а ток - отрицательный.

Рис.5

Если ток I в (15) распределен по объему, где расположен контур L, то его можно представить как

(1.16)

Интеграл здесь берется ар произвольной поверхности S, натянутой на контур L. Плотность тока под интегралом соответствует точке, где расположена площадка , причем вектор образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.

Итак, в общем случае уравнение (15) можно записать так:

(1.17)

То, что циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю, означает, что поле не потенциально. Такое поле называется вихревым или соленоидальным

В присутствии вещества в правую часть теоремы о циркуляции вектора необходимо ввести микротоки , охватываемые контуром (L):

(1.17’)

Под микротоками или молекулярными токами понимают токи, вызванные движением электронов в атомах, ионах и молекулах. Эти токи создают магнитное поле вещества, помещенного во внешнее магнитное поле.

Физический смысл т. о циркуляции вектора : источником вектора являются токи проводимости и микротоки.

В случае изотропного вещества последнюю формулу можно упростить, учитывая магнитное поле вещества введением магнитной проницаемости

(1.18)

Дифференциальная форма теоремы, справедливая для любой малой окрестности какой-либо точки поля. Предел отношения циркуляции к площади S, ограниченной контуром, зависит от ориентации контура в данной точке пространства и представляет собой скалярную величину, которая ведет себя как проекция некого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот некий вектор наз. ротором поля.

Итак, в каждой точке векторного поля имеется вектор , направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора определяется тем направлением нормали площадки S, при котором достигается максимальное значение величины , являющееся одновременно модулем вектора .

(1.19)

§ 4. Применение теоремы о циркуляции вектора к расчету магнитных полей проводников с током

Т. о циркуляции позволяет рассчитать модуль вектора в случаях определенной симметрии МП, т.е. когда известно направление вектора в каждой точке поля. Алгоритм применения: 1) из симметрии задачи определяют направление вектора в любой точке поля. Если этого сделать нельзя, то для расчета поля (направления и модуля вектора ) необходимо использовать закон Б-С-Л и принцип суперпозиции для магнитных полей. 2) выбирают контур L и рассчитывают циркуляцию вектора согласно ее определению; 3) рассчитывают сумму токов, охватываемых контуром; 4) применяют теорему для расчета модуля .

Дата добавления: 2014-01-20