Вихревое электрическое поле

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля

Для объяснения возникновения индукционного тока в неподвижных проводниках (второй опыт Фарадея) Максвелл предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре (первое основное положение теории Максвелла).

Циркуляция вектора напряженности _в этого поля

По определению поток вектора : Ф = , откуда следует:

Здесь и в дальнейшем мы используем частную производной по времени, поскольку в общем случае электрическое поле может быть неоднородным, и может зависеть не только от времени, но и от координат.

Таким образом, циркуляция вектора Е_в не равна нулю, т.е. электрическое поле , возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

Суммарное электрическое поле складывается из электрического поля, создаваемого зарядами и вихревого электрического поля _В. Поскольку циркуляция равна нулю, то циркуляция суммарного поля:

Это — первое уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

44. Ток смещения.

Максвелл предположил, что аналогично магнитному полю и всякое изменение электрического поля вызывает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле (второе основное положение теории Максвелла).

Поскольку магнитное поле есть основной, обязательный признак всякого тока, то Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения, в отличие от тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц.

Надо сказать, что термин ток смещения не является удачным. Он имеет некоторое основание в случае диэлектриков, так как в них действительно смещаются заряды в атомах и молекулах. Однако понятие тока смещения применяется и для полей в вакууме, где никаких зарядов, а следовательно и никакого их смещения нет. Тем не менее этот термин сохранился в силу исторических традиций.

Плотность тока смещения:

Следует подчеркнуть, что ток смещения определяется производной вектора, но не самим вектором . Так, например, в поле плоского конденсатора вектор всегда направлен от положительной пластины к отрицательной. Но в случае, если электрическое поле возрастает, то , а следовательно и ток смещения направлены так, как показано на рисунке (а). Если же электрическое поле убывает, то направлено от отрицательной пластины к положительной, и магнитное поле противоположно (рис. (б)) по сравнению с первым случаем.

Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутри проводника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутри проводника имеется и ток проводимости, и ток смещения и магнитное поле проводника определяется суммой этих двух токов.

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения. Плотность полного тока

Полный ток всегда замкнут. На концах проводников обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (или в вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно - способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора , использовав полный ток:

Обобщенная теорема о циркуляции вектора представляет собой второе уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

45. Полная система уравнений Максвелла.

Третье уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля это теорема Гаусса для поля . Для заряда, непрерывно распределенного внутри замкнутой поверхности с объемной плотностью , это уравнение имеет вид:

Четвертое уравнение Максвелла - это теорема Гаусса для поля :

Таким образом, система уравнений Максвелла в интегральной форме

Для того, чтобы эта система уравнений была полной ее необходимо дополнить такими соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды, в которой возбуждаются электрические и магнитные поля. Эти соотношения называются материальными соотношениями

, ,

где ε₀ и μ₀ - соответственно электрическая и магнитная постоянные, εиμ - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, γ - удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла следует, что

— источниками электрического поля являются либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля,

— магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо
переменными электрическими полями,

— переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им
электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда
связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное
поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое
электромагнитное поле.

Для стационарных полей (Е = const и В = const) уравнения Максвелла имеют вид

; ; ;

В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поле.

Воспользуемся известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса (см. стр.1-31):

По определению, дивергенцией и ротором векторного поля в данной точке М называют следующие производные по объёму:

,

где интегралы и есть, соответственно, скалярный и векторный потоки векторного поля через замкнутую поверхность S, которая окружает данную точку М, охватывая область с объёмом V.

Дата добавления: 2014-01-20