Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f (x) - четная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = f (x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0, где n =1,2,...

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2 L выглядит так:

Пусть теперь f (x) - нечетная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = - f (x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n=1,2,...

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2 L выглядит так:

Если функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежуткето

, где,

,

,

Если f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0 ,L ], то доопределив заданную функцию f (x) соответствующим образом на [- L, 0]; далее периодически продолжив на (T =2 L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [ a, b ], надо: доопределить на [ b, a +2 L ] и периодически продолжить, либо доопределить на [ b -2 L, a ] и периодически продолжить.

Дата добавления: 2014-01-20