Структурные матричные схемы и передаточные матрицы

Матричные структурные схемы

Матричные структурные схемы являются по сути компактным графическим представлением классической структурной схемы многомерного объекта или системы управления. Они основываются на операторной форме представления уравнений, на замене реальных сигналов их изображениями по Лапласу.

Используя несколько уровней представления схем, различающихся степенью агрегатирования (объединения) связей и элементов системы.

Рассмотрим различные уровни представления матричных структурных схем на примере некоторой обобщенной структуры многомерной системы автоматического управления.

I уровень

На рис. 3 показаны – векторы изображений переменных,

Рис. 1

,

– матрицы передаточных функций,

,

,

.

На показанной на рис. 1 матричной структурной схеме суммирующие элементы, матричные звенья и точки ветвления выполняют те же функции, что и на обычных структурных схемах. Поэтому в соответствии со схемой можно записать систему матричных уравнений –

II уровень

Рассмотрим второй уровень, полагая для матричной структурной схемы .

Рис. 2

Рассмотрим на этом уровне ОУ, описываемый матрицей

(1)

Перейдем от матричных уравнений к скалярным –

,

(2)

Из последнего выражения видно, что передаточная функция в соответствии с принципом суперпозиции является передаточной функцией между -м входом и -м выходом, при отсутствии сигналов на всех входах, кроме -го.

III уровень

Рассмотри третий уровень матричной структурной только для объекта управления. На основании полученной для объекта системы операторных уравнений (2) можно изобразить структурную схему объекта управления.

Рис. 3

Из предложенного примера уровней сложности матричной структурной схемы видно, что представление даже не очень сложных многомерных систем управления в виде схем III уровня, то есть в виде классических структурных схем, приводит к громоздкому графическому представлению, не отражающему характерных связей и функциональных элементов системы.

Передаточные матрицы

Передаточные или эквивалентные матрицы относятся к моделям типа "вход-выход" и представляют собой матрицы, связывающие вход и выход многомерной системы. На рис. 4 показана многомерная система.

Рис. 4

Матричное операторное уравнение описывающее систему имеет вид –

,

где – передаточная или матрица системы, компонентами, которой будут передаточные функции, связывающие компоненты векторов входа и выхода системы.

Аналогами эквивалентных матриц в одномерных системах являются передаточные функции, связывающие вход и выход объекта или системы. Матрицы из рассмотренной выше матричной структурной схемы (см. рис. 1) являются, по сути, передаточными матрицами многомерных функциональных элементов системы.

Эквивалентные матрицы многомерных систем могут быть получены двумя способами.

1. Определяются передаточные функции, связывающие соответствующие входы и выходы системы. То есть матрица определяется по ее компонентам. Компоненты определяются известными способами в соответствии с принципом суперпозиции.

2. Передаточные матрицы определяются в результате эквивалентных преобразований матричных структурных схем или по матричным операторным уравнениям. Преобразование матричных структурных схем осуществляется в соответствии с правилами эквивалентных преобразований обычных структурных схем, необходимо лишь учитывать специфику операций с векторами и матрицами (не соблюдение коммутативного закона, замена деления умножением на обратную матрицу, понятие единичной и нулевой матрицы и т. п.).

В качестве примера найдем передаточную матрицу, связывающую вход и выход рассматриваемой выше системы (рис. 1), при этом полагаем в соответствии с принципом суперпозиции, что сигнал возмущения отсутствует (). Тогда структурная схема примет вид, показанный на рис. 5.

Рис. 5

Определим , удовлетворяющую следующему матричному операторному уравнению –

.

Для определения воспользуемся преобразованием матричных операторных уравнений, которые могут быть записаны по матричной структурной схеме.

(3)

(4)

(5)

Подставим из (4) в (3)

(6)

Подставим из (5) в (6)

(7)

Раскроем скобки в правой части (7)

(8)

Перенесем слагаемое с из правой части выражения (8) в левую часть

(9)

Вынесем за скобку вправо

(10)

где - единичная матрица -го порядка.

Если

,

тогда матрица

,

является невырожденной и от нее может быть получена обратная матрица –

(11)

Умножим левую и правую части уравнения (10) справа на обратную матрицу (11), после несложных преобразований получаем –

Тогда получаем окончательно –

.

Следовательно

(12)

По выражению (12), зная выражения матриц элементов системы, всегда можно определить передаточную матрицу системы в целом.

Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение матричной структурной схеме.

2. В каких формах могут быть представлены матричные структурные схемы?

3. Определите вектор , если вектор имеет вид –

,

векторы связаны уравнением –

,

где

,

Ответ:

.

4. По матричному уравнению

,

определите .

Ответ:

5. Объект управления описывается передаточной матрицей –

,

которая связывает векторы –

Изобразить структурную схему, связывающую компоненты векторов .

Ответ:

6. Дайте определение передаточной (эквивалентной) матрицы.

7. Дайте определение компонентам передаточной матрицы объекта управления.

8. Какими способами могут быть определены передаточные матрицы многомерных объектов.

9. Для многомерной системы, показанной на рис. 1, определите передаточную матрицу, связывающую векторы и .

Ответ:

.

Лекция 14

Дата добавления: 2014-01-11