Пример 5.2

Методом простых итераций уточнить ранее (пример 5.1) отделенные решения системы уравнений:

x₁²+x₂²=1

ln x₁+2x₂= –1

Области существования решений:

,

Для получения эквивалентной системы из первого уравнения выразим x₁

из второго уравнения x₂

Определим частные производные:

Проверим условия сходимости в окрестности первого решения, взяв точку в центре области существования этого решения х₁=0,1; х₂=0,9.

Использовать полученную эквивалентную систему для уточнения первого решения нельзя, т.к. условия сходимости не соблюдаются.

Проверим условия сходимости для этой же эквивалентной системы в окрестности второго решения: х₁=0,9; х₂=-0,4.

Условия сходимости соблюдаются, следовательно полученную эквивалентную систему можно использовать для уточнения второго решения.

Выполним несколько итераций для уточнения 2-го решения:

Начальные значения k = 0 ; ;

Первая итерация k = 1 ;

Вторая итерация k = 2 ;

Третья итерация k = 3

Четвертая итерация k = 4

Итерационный процесс сходиться, для достижения требуемой точности нужно выполнить еще несколько итераций.

После 8-ой итерации х₁=0,8956, х₂=-0,4446, δ по формуле (5.7) равна 0,0005.

Рассмотрим использование приема Гаусса–Зейделя (5.11) для ускорения итерационного процесса.

Начальные значения k = 0, ; ;

Первая итерация k = 1 ;

Вторая итерация k = 2 ;

После 5 итерации получим следующие результаты: х₁=0,8957, х₂=-0,4449 δ=0,0006.

Для уточнения первого решения нужно найти другую формулу итерационного процесса.

Например, если из первого уравнения выразить х₂, а из второго х₁ получим:

Проверка условий сходимости в окрестности первого решения показывает, что приведенные формулы можно использовать для уточнения первого решения.

Для х⁽⁰⁾=(0,1;0,9)

4.2.2. Метод Ньютона–Рафсона.

Идея метода заключается в линеаризации уравнений системы (5.1), что позволяет свести исходную задачу решения СНУ к многократному решению системы линейных уравнений.

Рассмотрим, как были получены расчетные зависимости метода.

Пусть известно приближение x_i^(k) решения системы нелинейных уравнений x_i^*. Введем в рассмотрение поправку Dx_i как разницу между решением и его приближением:

,

Подставим полученное выражение для x_i^* в исходную систему.

…

Неизвестными в этой системе нелинейных уравнений являются поправки Dx_i. Для определения Dx_i нужно решить эту систему. Но решить эту задачу так же сложно, как и исходную. Однако эту систему можно линеаризовать, и, решив ее, получить приближенные значения поправок Dx_i для данного приближения, т.е. Dx_i^(k). Эти поправки не позволяют сразу получить точное решение , но дают возможность приблизиться к решению, – получить новое приближение решения

, (4.14)

Для линеаризации системы следует разложить функцию f_i в ряды Тейлора в окрестности x_i^(k), ограничиваясь первыми дифференциалами.

Полученная система имеет вид:

, (4.15)

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения x_i^(k). Для решения системы линейных уравнений (5.15) при n=2,3 можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы n – метод исключения Гаусса.

Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности e, расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

δ =

Можно использовать и среднее значение модулей поправок:

В матричной форме систему (5.15) можно записать как:

(4.16)

где:

, - матрица Якоби (производных),

- вектор поправок

- вектор-функция

W(X^(k)) – матрица Якоби, вычисленная для очередного приближения.

F(X^(k)) – вектор-функция, вычисленная для очередного приближения.

Выразим вектор поправок ∆X^(k) из (5.16):

где W^-1 – матрица, обратная матрице Якоби.

Окончательно формула последовательных приближений метода Ньютона решения СНУ в матричной форме имеет вид:

(4.17)

Достаточные условия сходимости для общего случая имеют очень сложный вид, и на практике проверяются редко. Нужно отметить, что метод сходится очень быстро (за 3 – 5 итераций), если det|W| ¹ 0 и начальное приближение X⁽⁰⁾ выбрано близким к решению (отличаются не более чем на 10%).

Алгоритм решения СНУ методом Ньютона состоит в следующем:

1. Задается размерность системы n, требуемая точность ε, начальное приближенное решение X = (x_i)_n.

2. Вычисляются элементы матрицы Якоби W = (¶¦_i ¤ ¶x_j)_n,n.

3. Вычисляется обратная матрица W^-1.

4. Вычисляется вектор функция F=(f_i)_n, , .

5. Вычисляются вектор поправок

6. Уточняется решение

7. Оценивается достигнутая точность δ=или

8. Проверяется условие завершения итерационного процесса

δ≤ε

Если оно не соблюдается, алгоритм исполняется снова с пункта 2.

Для уменьшения количества арифметических действий Рафсон предложил не вычислять обратную матрицу W^-1, а вычислять поправки как решение СЛУ (5.15)

Схема алгоритма метода Ньютона - Рафсона представлена на рис.5.2. При разработке схемы учтена необходимость защиты итерационного цикла от зацикливания: введен счетчик итераций k и ограничение на число итераций k_max (на практике не более 100).

Рис 4.5. Схема алгоритма решения СНУ методом Ньютона – Рафсона.

Достоинством методов Ньютона является быстрая сходимость, недостатками - сложность расчетов (вычисление производных, многократное решение системы линейных уравнений), сильная зависимость от начального приближения.

Пример 5.3. Требуется методом Ньютона-Рафсона уточнить одно из решений системы

x₁²+x₂²=1

ln x₁+2x₂= –1

Заданная точность ε=0,001. Решения отделены ранее (пример 5.1)

Запишем уравнения в стандартном виде:

Начальное приближение Х⁽⁰⁾=(0,9;-0,4).

Первая итерация.

Элементы матрицы Якоби W=(w_i,j)_2,2

w_1,1=

w_1,2=

w_2,1=

w_2,2=

Значение функций

f₁(0,9;-0,4) = 0,9² + 0,4² – 1 = 0,81+ 0,16 – 1 = -0,03

f₂(0,9;-0,4) = ln(0,9) + 2*(-0,4) + 1 = -0,1054 + 0,2 + 1 = 0,0946

Для вычисления поправок нужно решить систему

1,8×∆x₁ - 0,8×Dx₂= -(-0,03)

1,1111×∆x₁ + 2×∆x₂= –0,0946

По формулам Крамера

detW≠0 – система обусловлена.

Первое приближение решения

х₁ = х₁ + ∆х₁ = 0,9+(-0,0035) = 0,8965

х₂ = х₂ + ∆х₂ = -0,4 + (-0,0454) = -0,4454

Оценка достигнутой точности

Нужно продолжить итерационный процесс т.к. δ>ε.

После второй итерации требуемая точность достигается, х₁=0,8995 х₂=-0,4449, d» 0,001.

4.2.3. Метод минимизации..

Рассмотрим функцию

Она неотрицательна и обращается в нуль в том и только в том случае, если

,

Таким образом, решение исходной системы нелинейных уравнений

F(X) = 0

будет одновременно нулевым минимумом скалярной функции многих переменных Q(X).

Искать такой минимум часто бывает проще, чем решать СНУ. Методы поиска минимума таких функций изучаются отдельно.

Основная идея этих методов состоит в последовательном выборе таких значений х_{i ,} которые уменьшают значения критерия Q.

Часто метод минимизации используется как вспомогательный, для получения значения корней, близких к решению. Затем эти значения уточняются методом Ньютона.

Дата добавления: 2014-01-11