Совокупность напряжений для всего множества площадок, которые можно провести через данную точку, называется напряженным состоянием в этой точке

4. Внутренние силовые факторы и их связь с напряжениями.

Рассмотрим поперечное сечение стержня. В нём: Р_z- вектор полного напряжения в точке М(x,y,z); τ_zx, τ_zy, σ_z- составляющие Р_z: τ_zx, τ_zy- касательные напряжения, σ_z- нормальное напряжение,

- полное касательное напряжение в поперечном сечении.

Приведем непрерывно распределенные по сечению напряжения к главному вектору и к

главному моменту в центре тяжести сечения.

На рис. показаны составляющие главного вектора Q_x, Q_y, N_z и главного момента M_x, M_y, M_z. Они наз. внутренними силовыми факторами. При этом Q_x, Q_y- наз. поперечными силами, N_z- продольной силой, а M_x, M_y- изгибающими моментами, M_z=М_к- крутящим моментом.

Они являются равнодействующими соответствующих напряжений и выражаются через них следующим образом:

, ,

, ,

Здесь интегрирование осуществляется по координатам x и у, поэтому ВСФ зависят только от координаты Z, определяющей положение сечения.

5. Метод сечений(РОЗУ).

Метод сечений позволяет перевести внутренние силы в разряд внешних и определить их из уравнений статики.

Пусть дан стержень, нагруженный самоуравновешенной нагрузкой F₁,…F_n.

Р - разрежем стержень плоскостью на две части; О - отбросим одну из образовавшихся частей; З - заменим действие отброшенной части на оставленную внутренними силовыми факторами; У- уравновесим, т.е. подчиним силы, действующие на оставленную часть уравнениям равновесия:

∑Х=0- из него найдем Q_x

∑Y=0- из него найдем Q_y

∑Z=0- из него найдем N_z

∑m_x=0- из него найдем M_x

∑m_y=0- из него найдем M_x

∑m_z=0- из него найдем M_кр.

В зависимости от того, какие ВСФ отличны от нуля, различают следующие виды нагружения:

1) растяжение-сжатие, если N_z ≠ 0;

2) кручение T_z ≠ 0;

3) чистый изгиб M_x или M_y ≠ 0;

4) поперечный изгиб Q_x и M_y ≠ 0 или Q_y и M ≠ 0

и др.

II. Центральное

растяжение–сжатие стержня.

1.Продольная сила и ее эпюра.

Центральное растяжение-сжатие стержня реализуется, когда нагрузка, действующая на стержень, приводится к оси стержня к силам параллельным оси стержня(рис.1).

Действительно. Рассмотрим равновесие правой части по сечению 1-1. Силу F можно уравновесить только одной силой N, значение которой найдем из уравнения равновесия ∑Z=-N+F=0=> N=F. Остальные В.С.Ф. равны нулю.

Продольную силу N будем считать положительной при растяжении и, как следует из примера, направлять

ее надо от сечения. Отрицательной продольной силе соответствует сжатие.

Опред. График, изображающий изменение продольной силы в зависимости от положения сечения по длине стержня, называется эпюрой продольной силы. N(z)=f(z)- уравнение эпюры продольной силы, z- текущая координата положения сечения по длине балки, N(z)- значение продольной силы в сечении с координатой z, т.е. ордината эпюры N.

Пример. Построить эп. N

1.Составим уравнение равновесия

для всего стержня и найдем реакцию R:∑Z=-R-5qa+2qa+qa=0=>R=-2qa

2.Разобьем стержень на участки и на каждом из них применим метод сечений (РОЗУ).

- разрежем стержень сечением 1-1, положение которого заменим координатой z₁(0≤z₁≤а),

- отбросим правую часть стержня по отношению к сечению 1-1,

- заменим действие правой части на левую часть продольной силой N₁.

- cоставим уравнение равновесия для левой части стержня:

∑Z=-R+N₁=0=>N₁=-2qa- уравнение N на участке (0≤z₁≤a).

Аналогично по сечению 2-2 (а≤z₂≤2a):∑Z=-R-5qa+N₂=0=> N₂=3qa- уравнение N на участке (a≤z₂≤2a).

По сечению 3-3(2а≤z₃≤3a) рассмотрим равновесие правой части стержня:∑Z=-N₃ +q(3a-z)=0 => N₃= q(3a-z)- уравнение N на участке (2a≤z₂≤3a)

2. Нормальные напряжения в

поперечных сечениях стержня.

Нормальные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению (рис.).

Тогда из формулы следует, что (1)

Эпюра напряжений σ строится по эпюре N, делением её на площадь поперечного сечения соответствующих участков.

3.Перемещение и деформация при растяжении-сжатии стержня.

Отношение (2) наз.

линейной(продольной) деформацией в точке с координатой z.

Она характеризует удлинение б.м. элемента в точке с координатой z. Величина безразмерная, ε>0 при растяжении, ε<0 при сжатии. Будем предполагать, что ε<<1.

Из рис. следует, что Δdz=du => (3)- соотношение Коши. Из (3)=> (4) - перемещение сечения относительно начала координат, где как следует из (2) (5) - удлинение участка [z_o,z]. Удлинение всего стержня

(6).

Закон Гука. Вычисление

перемещений.

Материал называется идеально линейно-упругим, если независимо от величины нагрузки, в нём возникают только упругие деформации и зависимость σ~ε линейная:

σ=Еε (8) - закон Гука при одноосном растяжении – сжатии.

Коэффициент пропорциональности Е наз. модулем упругости(модулем Юнга), являющийся физической константой материала.

Из (8) => ε=σ/Е (9).

Т.о. зная напряжения, по формулам (4-6) можно вычислить перемещения и абсолютное удлинение стержня. В частности .

Если , то

(10)

- закон Гука при растяжении-сжатии.

Формулу (4) с учетом (5) можно переписать в виде

, где u_i – перемещение i - той границы, удлинение i -го участка [ a_i-1,a_i ], i= 1,2,3,…

Продолжение примера.

u₀=0,- перемещение в заделке,

,

1. Механические характеристики

материалов.

Свойства материалов, определяемые при испытании стандартных образцов, называются механическими характеристиками материалов.

Стандартный образец имеет вид

Записывающее устройство испытательной машины вычерчивает график зависимости между усилием F, передаваемым на образец, и удлинением образца Δℓ.

Напряжение σ_пц= F_пц/А₀ до которого выполняется закон Гука называется пределом пропорциональности.

Напряжение σ_т= F_т/А₀ при котором происходит значительный рост пластических деформаций при практически постоянной нагрузке наз. пределом текучести.

Максимальное условное напряжение σ_в= F_в/А₀ предшествующее разрушению образца наз. пределом прочности.

Напряжения σ_пц, σ_т, σ_в являются механическими характеристиками прочности материалов.

2. Расчет на прочность по допускаемому напряжению и по расчетному сопротивлению.

Опред. Напряжение, при котором возникают значительные пластические деформации или появляются признаки разрушения наз. предельным

Наибольшее напряжение, действующее в конструкции, наз. расчетным σ_расч.=σ_max.

Число (1) наз. фактическим коф. запаса прочности.

Нормативными документами вводится требуемый коф. запаса [n].

Неравенство n≥[n] (2)

наз. условием прочности по коф. запаса.

С учетом (1) неравенство (2) можно переписать в виде

σ_max≤ [σ] (3) - условие прочности по допускаемому напряжению, [σ]=σ_пред/[n]- допускаемое напряжение.

При расчете строительных конструкций в место допускаемого напряжения

используют расчетное сопротивление R=R_н/γ_m, где γ_m- коэффициент надежности по материалу, R_н- нормативное сопротивление материала(для сталей R_н=σ_т).Условие прочности записывают в виде σ_max≤ γ_сR (4) - условие прочности по расчетному сопротивлению.

При центральном растяжении-сжатии условие прочности записывается в виде (5) - для пластичных материалов и (6) - для хрупких материалов, где N^P,C,- усилия на растяжение и на сжатие, R_P,C- расчетные сопротивления на растяжение и на сжатие.

3. Виды расчетов на прочность по допускаемым напряжениям и расчетным сопротивлениям.

а). Проверочный расчет.

При заданных нагрузках и размерах поперечных сечений определить расчетные напряжения

для пластичного материала и

для хрупкого материала и сравнить с допускаемыми напряжениями [σ], [σ]_Р и [σ]_С или расчетными сопротивлениями γ_сR, γ_сR_P и γ_сR_C. Если неравенства типа |σ_max|≤[σ] выполняются или перенапряжения не превышает 5%, то конструкция считается прочной.

б).Проектный расчет.

Под заданную нагрузку определить размеры поперечного сечения.

Из условия прочности находим минимально необходимую площадь поперечного сечения А=max | N|/[σ]. Затем, по формулам определяем размеры сечения.

Для прямоугольного сечения должно быть задано отношение h/b. Прокатные профили определяются по сортаменту. При этом А _сорт ≥ А _расч. Допускается брать профиль с А _сорт ≤ А _расч если перенапряжение не превышает 5%.

В случае сложного сечения все размеры должны быть выражены через один параметр.

в).Определение допускаемой нагрузки

(грузоподъемности).

Под заданные размеры поперечных сечений требуется определить максимально допускаемую внешнюю нагрузку, определяемую параметром F_o.

Определив по эпюре max|N(Fo)|= k Fo, из условия прочности находим максимально допускаемый параметр внешней нагрузки [F_o]= [σ]A/ k.

Аналогично решается задача для хрупкого материала.

4. Статически определимые Ш.-С.С.

1). Расчет на прочность.

а). Определить усилия в стержнях из уравнений статики.

∑Х= N₁+ N₂cosα=0

∑Y= N₂sinα+F=0

N₂=- F/ sinα, N₁= Fсtgα. При α=30^о: N₂=-2F, N₁=1,73F

б). Расчет на прочность

Проверочный расчет: Дано А₁=А, А₂=2А, [σ]_Р=F/A,[σ]_C=1,2F/A

σ₁= N₁/А₁=1,73F/A>[σ]_Р-прочность не обеспечена, |σ₂|= |N₂/А₂|=F/A<[σ]_C-прочность обеспечена.

Проектировочный расчет: Дано F, [σ]_Р, [σ]_C=1,2[σ]_Р. Определить А.

σ₁= N₁/А₁=1,73F/A=[σ]_Р, [A]₁=1,73F /[σ]_Р, |σ₂|= |N₂/А₂|=F/A=1,2[σ]_Р, [A]₂=0,83F /[σ]_Р

[A]=1,73F /[σ]_Р

Определение допускаемой нагрузки: Дано: А,[σ]_Р, [σ]_C=1,2[σ]_Р. Определить [F].

σ₁= N₁/А₁=1,73F/A=[σ]_Р, [F]₁=0,58A[σ]_Р,

|σ₂|= |N₂/А₂|=F/A=1,2[σ]_Р, [F]₂=1,2А[σ]_Р

[F]=0,58A[σ]_Р

2). Перемещения в С.О.Ш-С.С. от нагрузки. Расчет на жесткость.

1. Способы определения удлинений стержней.

а). Геометрический способ.

Допущение. Перемещения точек системы малы по сравнению с линейными размерами стержней.

Следствие. Движение точки по окружности можно заменить движением по касательной к окружности.

АА₁=ℓ∙tg φ,

АА₂=ℓ∙φ, tg φ≈ φ

АА₁≈ АА₂

1)Длина стержня после деформации равна проекции стержня на его начальное направление

2). Удлинение стержня равно разности проекций перемещений концов стержня на его начальное направление.

б). Физический способ- по закону Гука

1. Порядок определения перемещений.

Дата добавления: 2014-01-11