Определение 3

Вектором мгновенной угловой скорости и вектором мгновенного углового ускорения относительного движения твердого тела называются, соответственно, вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения твердого тела при его движении относительно подвижной системы координат , условно принимаемой неподвижной.

Из данного определения следует, что

, (4.3.7)

. (4.3.8)

Здесь и означают условные производные первого и второго порядка от вектор-функций , заданных своими проекциями на оси подвижной системы через элементы матрицы ориентации твердого тела в подвижном пространстве. При таком дифференцировании базис системы условно принимается неподвижным.

Легко заметить, что выражения (4.3.7) и (4.3.8) для векторов и получаются из формул (4.3.2) и (4.3.5)

, (4.3.2)

, (4.3.5)

путем замены в правых частях равенств (4.3.2) и (4.3.5):

– подвижного базиса переносного движения на базис связанной системы координат ;

– дифференцирования в абсолютной системе на условное дифференцирование .

Поскольку векторы в проекциях на базис «условно неподвижной» системы координат в момент времени задаются элементами соответствующих столбцов матрицы перехода от связанной системы к системе , то можем записать

,

, (4.3.9)

.

В (4.3.9) векторы , вообще говоря, зависят от времени . Однако в определении относительного движения твердого тела зависимость их от времени не учитывается. Иначе говоря, при описании движения твердого тела по отношению к системе отсчета полагается, что такое движение тело совершает в пространстве , условно принятом за абсолютное пространство.

Тем самым относительное движение тела определяется относительным движением полюса его связанной системы и движением базиса этой системы относительно базиса , условно принятого неподвижным.

Разложения векторов по базису получаются дифференцированием по времени соотношений (4.3.9), причем дифференцируются только направляющие косинусы , , а базис не дифференцируется:

(4.3.10)

Аналогичным дифференцированием соотношений (4.3.10) строятся разложения векторов

3.3. Формулы Эйлера для переносной
и относительной угловой скорости

Очевидно, для векторов и в любой момент времени справедливы формулы Эйлера

, (4.3.11)

. (4.3.12)

Соотношения (4.3.11) следуют из определения вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат относительно абсолютного пространства (см. определение 4 в §2).

Формулы (4.3.12) вытекают из определения относительной производной от векторов , заданных своими проекциями на оси подвижной системы , и из определения 3 вектора мгновенной угловой скорости относительно системы
(условно принятой неподвижной).

4º. Скорости точек твердого тела в сложном движении. Теорема о сложении угловых скоростей

4.1. Формула для скоростей точек твердого тела
в сложном движении

Пусть — произвольная точка твердого тела. Она участвует в сложном движении. Одно движение (переносное) — это движение подвижной системы . Другое движение — относительное (это движение точки в подвижной системе ).

Поэтому можем применить теорему о сложении скоростей:

, (4.3.13)

где — абсолютная скорость, — переносная скорость, — относительная скорость точки .

По определению переносной скорости можем записать

.

Поскольку — переносная скорость точки , то переносная скорость точки представляется в виде

. (4.3.14)

По определению относительной скорости точки согласно формуле Эйлера для скоростей точек твердого тела имеем

, (4.3.15)

где

· — относительная скорость полюса связанной системы (скорость точки относительно системы ),

· — вращательная скорость точки относительно
подвижной системы .

Подставляя (4.3.14) и (4.3.15) в (4.3.13), придем к следующему выражению для скорости :

.

Поскольку — абсолютная скорость точки , то окончательно получим

. (4.3.16)

Таким образом, доказали теорему.

Дата добавления: 2014-01-11