Вывод кинематических уравнений Пуассона

Предварительный анализ постановки задачи

 

При известных начальных значениях углов ориентации решение задачи Дарбу сводится к построению решения задачи Коши для кинематических дифференциальных уравнений (4.5.1).

 

Однако эти уравнения имеют следующие особенности, которые необходимо учитывать в процессе построения решения поставленной задачи.

 

Во-первых, они являются нелинейными уравнениями относительно углов ориентации, что само по себе уже приводит к определенным трудностям их интегрирования.

 

Во-вторых, правые части уравнений имеют особенности:

а именно, они не определены при некоторых значениях углов ориентации.

 

Тем самым, эти значения углов являются критическими для данных кинематических уравнений.

 

Следовательно, если

твердое тело совершает одно из движений, на которых углы ориентации принимают критические значения хотя бы в один момент времени, то

 

такое движение не будет решением данных уравнений.

 

В связи с этим, в разрабатываемом алгоритме должны быть предусмотрены:

 

· действия по распознаванию таких движений;

 

· переход к интегрированию кинематических уравнений, записанных для других угловых параметров.

 

Иначе говоря, после того, как будет установлено, что на искомом решении хотя бы один из углов ориентации близок к критическому значению, необходимо перейти к описанию движений другими углами. А именно, такими углами, критические значения которых отличаются от критических значений прежних углов ориентации.

 

Затем построить соответствующие кинематические уравнения для новых углов и решать задачу Дарбу с использованием этих

уравнений - построенных для новых углов ориентации.

 

Такой процесс определения ориентации твердого тела по известной угловой скорости неизбежен при выборе в качестве расчетных любых углов ориентации (будут ли это углы Эйлера или самолетные, и т.д.). Это действительно так, поскольку критические значения переменных существуют в кинематических уравнениях, построенных для любых углов ориентации.

 

Ниже (в п.3º) показано, как избежать указанных трудностей при разработке алгоритма построения решения задачи Дарбу.

2º. Кинематические уравнения Пуассона

 

Откажемся от определения ориентации твердого тела через угловые параметры и будем вычислять его ориентацию по матрице перехода от связанной системы координат к абсолютной.

 

С этой целью выведем дифференциальные уравнения, по решениям которых могут быть построены элементы указанной матрицы.

 

 

Пусть — орт, неподвижный в абсолютном пространстве. Обозначим — его проекции на подвижные оси, в качестве которых берем оси связанной с твердым телом системы координат.

 

Тогда можем записать

 

.

 

Продифференцируем по данное равенство. В результате получим векторное уравнение следующего вида

 

. (4.5.2)

 

При дифференцировании учли, что — орт, неподвижный в абсолютном пространстве, задается проекциями на подвижные оси.

Поэтому для его производной справедлива формула (4.2.11) из §2, п.2º:

 

. (4.2.11)

 

Поскольку

 

, ,

 

где — орты связанной системы координат, то, проектируя (4.5.2)

 

(4.5.2)

 

на оси , придем к следующей системе

 

(4.5.3)

 

Уравнения (4.5.3) называются уравнениями Пуассона.

 

Это линейные дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций .

 

2.2. Матричная форма
кинематических уравнений Пуассона

 

В уравнениях (4.5.3) матрица коэффициентов, взятых с обратным знаком, имеет вид

 

. (4.5.4)

 

Она является кососимметрической матрицей.

 

Если обозначить через вектор-столбец

,

то система (4.5.3) в матричном виде запишется так:

 

, (4.5.5)

 

где матрица задается формулой (4.5.4).

 

В задаче Дарбу матрица является известной матричной функцией времени.

 

Уравнение (4.5.5) — это система уравнений Пуассона (4.5.3), записанная в матричной форме.

3º. Решение задачи Дарбу

3.1. Дифференциальное уравнение Пуассона
для матрицы ориентации

 

Установим связь решений уравнения (4.5.5) с матрицей ориентации твердого тела.

 

В качестве вектора при выводе уравнений Пуассона последовательно возьмем орты абсолютной системы координат.

 

Поскольку координаты:

 

· орта совпадают с элементами первой строки матрицы ,

· орта — с элементами второй строки,

· орта — с элементами третьей строки,

 

то в уравнении (4.5.5) можно последовательно положить

 

,

где — вектор-строка с номером , , в матрице ориентации :

 

, , .

 

Тогда уравнение (4.5.5)

(4.5.5)

 

для векторов , , запишется в виде

 

. (4.5.6)

 

Объединяя эти три уравнения, приходим к следующему матричному дифференциальному уравнению для транспонированной матрицы :

. (4.5.7)

Уравнение (4.5.7) — это дифференциальное уравнение Пуассона для матрицы ориентации.

 

Покажем, как построить матрицу через решения уравнения Пуассона (4.5.5).

Сначала отметим свойства решений системы уравнений Пуассона (4.5.3).