Применение т. Остроградского - Гаусса к расчету электростатических полей в вакууме

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на, т.е.

– теорема Остроградского – Гаусса.

1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Пусть имеется ∞ плоскость, заряженная с постоянной поверхностной плотностью +σ (). Линии напряженности плоскости и направлены от неё (см.рис.). В качестве замкнутой поверхности возьмём цилиндр, основания которого заряженной плоскости, а ось ей.

Поток напряженности через боковую поверхность равен нулю, т.к. . Таким образом поток через цилиндр равен сумме потоков через его основания ()

По теореме Гаусса отсюда

напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, т.е. поле однородно.

Пусть плоскость соответствует координате х=0, тогда зависимость Е(х) будет выглядеть

:

2) Поле 2-х бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +σ и –σ (см.рис.).

Поле этих плоскостей найдём, используя принцип суперпозиции. Напряженности полей этих плоскостей равны по модулю, т.е.

I. Е =

II.

III.

3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Имеется сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q, заряженная равномерно с поверхностной плотностью +σ

Для расчёта поля построим сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой:

а) внутрь сферы попадает весь заряд Q.

По т. Остр. – Гаусса:

, ()

отсюда

б) замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов

внутри заряженной сферы поля нет.

График зависимости Е от r имеет вид:

4) Поле объемно заряженного шара

Рассмотрим шар радиуса R с зарядом Q, который заряжен равномерно с объемной плотностью ρ (– заряд, приходящийся на единицу объема).

Для напряженности поля вне шара получится то же, что и в случае сферической поверхности: ()

Внутри шара напряженность другая. Сфера радиуса охватывает заряд .

Учитывая т.Гаусса

Т.к. , тогда получим

График имеет вид:

5) Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Пусть бесконечный цилиндр радиуса R заряжен с линейной плотностью τ

(– заряд, приходящийся на единицу длины).

Линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра.

Поток вектора через торцы цилиндра равен нулю (т.к. торцы линиям напряженности), а через боковую поверхность 2πrlE.

Согласно т.Гаусса, при , тогда (*)

Если , то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, тогда Е=0.

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется формулой (*), а внутри его поле отсутствует.

Дата добавления: 2014-01-11