Резонанс в электрических цепях

При последовательном соединении элементов R, L, C (рис. 2.12, а) ток в цепи

(2.33)

Из всех возможных соотношений между индуктивным X_L и емкостным X_C сопротивлениями особый интерес представляет случай, когда эти сопротивления равны, т.е.:

X_L=X_C (2.34)

В этом случае мнимая часть комплексного сопротивления цепи (рис.2.12, в):

X=X_L – X_C=0

и тогда полное сопротивление цепи

Z=R,

т. е. сопротивление цепи минимально.

Тогда ток в цепи:

I=U/R

и при U=const, R=const значение его максимально (I=I_max).

Напряжение на индуктивном и емкостном элементах в комплексной форме

U _L=- U _C

а по значению:

U_L=X_L×I=X_C×I=U_C (2.35)

Следовательно:

U_L= X_L×I= X_L×U/R= U×X_L/R; (2.36)

U_C= X_C×I= X_C×U/R= U×X_C/R (2.37)

Таким образом, напряжения на индуктивном и емкостном элементах могут (и во много раз) превышать напряжение сети в X_L/R раз, если X_L> R.

Сдвиг по фазе между напряжениями U _L и U _C равен p (так как эти напряжения находятся в противофазе – рис. 2.12 б).

Такой режим цепи при последовательном соединении элементов R, L, C, когда X_L=X_C, а напряжение на индуктивном (U _L) и емкостном (U _C) элементах, находящихся в противофазе, равны по значению и могут превышать напряжение всей цепи, носит название режима резонанса напряжений. Ток и напряжение при этом (рис. 2.13) совпадают по фазе: (y_i=y_u).

Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса представлена на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса.

Активная мощность такой цепи [см. формулы (2.31) и (2.32)]

P= UI×cosj=UI=S, а реактивная мощность Q=UI×sinj=0.

Реактивные же мощности катушки [см. рис. 2.9 и 2.11] Q_L=X_LI² и конденсатора Q_C=X_CI² не равны нулю: их мгновенные значения в любой момент времени равны между собой, но обратны по знаку. Происходит непрерывный обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора (см. ниже п. 2.6).

Равенства индуктивного и емкостного сопротивлений (2.34)

можно добиться, изменяя угловую частоту w, индуктивность L или емкость C.

Угловая частота, при которой наступает резонанс напряжений,

называется резонансной

(2.38)

При резонансной частоте w₀ ток достигает максимального значения I=I_max=U/R. Рассмотрим характер изменения напряжений тока при изменении частоты w «влево» (при уменьшении) и «вправо» (при увеличении) относительно w₀.

а) При уменьшении частоты «влево» (w<w₀) увеличивается сопротивление

X_C­=1/wC,

а, следовательно, общее реактивное сопротивление цепи X (w) носит преимущественно емкостной характер (рис. 2.14, а) и становится не равным нулю. И, как следствие, ток

Рис. 2.14. Частотные зависимости последовательного колебательного контура при резонансе напряжений: а) – частотная зависимость реактивного сопротивления X (w); б) – частотные зависимости U (w), U_R (w), U_L (w),

U_C (w), I (w); в) – фазовая зависимость j (w).

уменьшается [см. кривую U_C (рис. 2.14 б) слева от w₀].

б) При w=0 (что соответствует напряжению постоянного тока), ток в цепи равен нулю I=0 (X_C=¥).

в) При увеличении угловой частоты (w>w₀) [см. рис. 2.14 а справа от w₀] сопротивление цепи X (w) носит индуктивный характер и также становится больше нуля, а ток начинает уменьшаться (рис. 2.14 б справа от ω₀).

Напряжения U_L и U_C при w=w₀ равны между собой по значению. Но своих максимальных значений они достигают при частоте, отличной от резонансной (рис. 2.14, б). Напряжение на конденсаторе C:

(2.39)

Напряжение U_C максимально тогда, когда функция под квадратным корнем имеет минимум.

Взяв первую производную от U_C (2.39) по w и приравняв её нулю , найдём её минимум (так как максимум имеет место при w=¥). Частота, при которой напряжение U_C максимально

(2.40)

т.е. (w_С<w₀)

Поступая аналогично с U_L, найдём, что частота, при которой напряжение U_L достигает максимума

(2.41)

т. е. w_L>w₀.

В формулах (2.40) и (2.41) использованы следующие обозначения:

· волновое или характеристическое сопротивление:

(2.42)

· добротность - величина показывающая, во сколько раз напряжение на L (или С) больше напряжения, приложенного к цепи

(2.43)

Чем больше добротность колебательного контура Q, тем меньше отличаются угловые частоты w_С и w_L от резонансной угловой частоты w₀ и тем острее три резонансные кривые I (w), U_C (w) и U_L (w) (рис. 2.14 б).

Явление резонанса широко используют в установках радиотехники, телевидения, автоматики и других устройствах электроники.

Так, например, соотношения, полученные при анализе последовательного контура, широко используются при синтезе и инженерных расчётах LC, кварцевых и электромеханических фильтров. Для двух последних видов фильтров это можно выполнить, воспользовавшись положениями 1-й или 2-й электромеханических аналогий.

Что касается радиотехнических устройств, то при их расчёте, помимо полученных, используются и другие параметры контура.

2.6. Энергетические процессы в резонансном последовательном R – L – C контуре

При резонансе напряжений малые количества энергии, поступающие от источника и компенсирующие потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний в системе относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Покажем, что при резонансе в любой момент времени суммарная энергия электрического w_Э и магнитного w_М полей

остаётся постоянной.

- резонансная частота

последовательного контура

Рис. 2.15. Резонансный последовательный резонансный R – L – C контур.

Сдвиг по фазе между напряжением на конденсаторе u_C и током в цепи i равен четверти периода (Т/4) или 90⁰. Учитывая соотношения между мгновенным, амплитудным и действующим (эффективным) значениями (), напряжение u_C и ток i_L можно представить

,

.

Действующие значения электрической и электромагнитной энергии контура, представленного на рис. 2.15:

,

.

Тогда общая энергия контура будет:

. (2.44)

Определим напряжение U_C, которое имеет место на обкладках конденсатора С:

Но, так контур резонансный, то , а значит

или .

Подставляя последнее выражение в формулу для общей энергии

(2.44), получаем:

.(2.45)

Полученное выражение можно сформулировать так:

Общая энергия поля резонансного последовательного контура остается постоянной, а значит отсутствует обмен энергии между полем и источником.

Представим кривые, иллюстрирующие характер изменения W, W_M и W_Э. – рис. 2.16.

Рис. 2.16. Зависимости i, u, u_C, w_Э, w_M и w при резонансе в последовательном контуре.

Анализируя зависимости рис. 2.16, можно сделать следующие выводы:

1. В начальный момент времени (t=0) вся энергия заключена в поле катушки.

2. В промежуток времени 0 – t₁ энергия поля катушки переходит в энергию поля конденсатора.

3. В момент времени t₁ вся энергия заключена в поле конденсатора.

4. За время t₁....t₂ энергия переходит из поля конденсатора в поле катушки.

5. Энергия непрерывно поступает от источника в цепь и выделяется там в виде тепла на резисторе R.

Всё сказанное иллюстрируем схемами рис. 2.17.

R R

C L C L

Рис. 2.17. К иллюстрации колебательного процесса энергий, происходящего в резонансном R – L – C контуре: а) - первая четверть периода, б) – вторая четверть периода (см. рис. 2.16).

2.7. Эквивалентное преобразование схем последовательного соединения элементов в параллельное

В схемах замещения цепей синусоидального тока зачастую бывает необходимо преобразовать последовательное соединение элементов в эквивалентное параллельное с тем, чтобы упростить анализ некоторых электротехнических цепей или устройств (например, катушки с магнитопроводом).

Предположим, что задано последовательное соединение резистивного элемента с сопротивлением R и элемента с реактивным сопротивлением X (рис. 2.18, а).

Рис. 2.18. Эквивалентное преобразование последовательно соединенных комплексных сопротивлений: а) – в последовательно соединенные сопротивления; б) – в параллельно соединенные проводимости.

Комплексное сопротивление и проводимость соединения соответственно равны

(2.46)

Параллельное соединение элементов (рис. 2.18, б) будет эквивалентно последовательному (рис. 2.18, а) только в том случае, если комплексные проводимости (или сопротивления) обоих соединений одинаковые, т. е.

(2.47)

(2.48)

Из выражений (2.47) и (2.48) следует, что сопротивления элементов, соединенных параллельно, выражаются через сопротивления элементов, соединённых последовательно следующим образом:

(2.49)

Выразив из (2.49) сопротивления элементов, соединённых последовательно, получим условия обратного эквивалентного преобразования.

2.7.[*]

Активный и реактивный токи. Проводимости

Для расчёта разветвлённых цепей синусоидального тока вводятся расчётные величины активного и реактивного токов цепи.

Если к цепи, содержащей активное R и индуктивное X_L сопротивления (рис. 2.18*), приложено синусоидальное напряжение , то синусоидальный ток в цепи, вызванный этим напряжением, отстаёт от него по фазе на угол j (рис. 2.18^*б) .

U

b

Y

в)

:[U]

[с учётом выражений (2.46),(2.47) и (2.48)]

-

Рис. 2.18*. Иллюстрации к понятию активный I_a и реактивный I_p токи в неразветвлённой ветви: а) – схема электрическая, б) – треугольник токов, в) – треугольник проводимостей.

Ток цепи I (рис. 2.18* б) раскладывается на две составляющие, одна из которых I_a совпадает по фазе с напряжением, другая I_p – сдвинута на угол 90⁰.

Активный I_a и реактивный I_p токи физического смысла не имеют. Они являются расчётными величинами, т. к. в неразветвлённой цепи ток на всех участках имеет одинаковое значение. Однако введение этих понятий (I_a и I_p) облегчает расчёт разветвлённых цепей. Соотношение между токами определяются из треугольника токов (рис. 2.18^*б).

Откуда следует, что:

С другой стороны, известно, что , а и (см. рис. 2.12 в – треугольник сопротивлений).

Тогда активный ток

, (...1)

где: G – активная проводимость цепи (рис. 2.18* в), равная

. (...2)

Величина реактивного тока определяется выражением

, (...3)

где: В – реактивная проводимость цепи (рис. 2.18^*в), равная

. (...4)

Величина полного тока цепи равна

, (...5)

где

(...6)

или

(...7).

Активная G и реактивная B проводимости являются соответственно обратными величинами активного R и реактивного X сопротивлений только в том случае, если эти сопротивления (R и X) являются единственными в цепи (или ветви), т. е. если и .

Если в неразветвлённой цепи (или ветви) включены сопротивления R, X_L и X_C, то для определения проводимостей можно воспользоваться выражениями (...2), (...4), (...6). Соотношения между проводимостями определяются из треугольника проводимостей (рис. 2.18^*в).

2.8. Параллельное соединение катушки и конденсатора. Резонанс токов

В участке цепи, схема замещения которой содержит параллельно соединённые индуктивный, емкостной и резистивные элементы (рис. 2.19) может возникнуть резонанс токов.

Рис. 2.19. Параллельный R – L – C контур: а) – схема электрическая, б) – векторная диаграмма, (1)….(4) – последовательность построения векторной диаграммы.

При заданном напряжении питания U комплексное значение общего тока

I = Y × U =Y∙e^-jφ∙U∙e^jψ_u

где

Y = G – jB = G - j(B_L- B_C)

- комплексная и полная проводимости цепи;

- угол сдвига фаз между напряжением и общим током, т. е. аргумент комплексной проводимости.

Действующее значение тока

При угловой частоте индуктивнаяи емкостнаяпроводимости параллельных ветвей равны

B_L = B_C,

аргумент комплексной проводимости цепи равен нулю

j=0,

т. е.

y_i = y_u,

а полная проводимость цепи

Y = G.

Общий ток при этом

I_рез = GU

- минимален.

При резонансе действующие значения токов в индуктивном и емкостном элементах одинаковы

I_L = (1/w_резL)U = I_C = w_резCU,

а сдвиг фаз между токами равен p, так как ток в индуктивном элементе отстаёт от напряжения по фазе на угол p/2, а ток в емкостном элементе опережает напряжение на угол p/2.

На рис. 2.20 показаны амплитудные и фазовые характеристики резонансного параллельного контура.

Рис. 2.20. Частотные зависимости для параллельного R – L – C контура: а) – зависимости проводимостей (B_L, B_c и B); б) – зависимости токов I, I_L, I_C; в) – фазо-частотная зависимость φ (ω); г) – нормированные значения резонансных токов при различных значениях добротностей (Q₁>Q₂>Q₃) контура.

1. 0 - w₀ (B>0): Ток отстаёт от напряжения (преобладает индуктивная проводимость B_L);

2. w₀ (B=0): I = U×G Ток совпадает по фазе с напряжением

3. w₀ - ¥ (B<0): Ток упреждает напряжение (преобладает ёмкостная проводимость B_C)

В емкостном элементе ток I_C = wCU возрастает пропорционально угловой частоте (рис. 2.20 б);

- в индуктивном элементе ток I_L = U/(wL) обратно пропорционален угловой частоте;

- в резистивном элементе ток I_R = U/R от угловой частоты не зависит. Точка пересечения кривых I_C (w) и I_L (w) соответствует резонансу токов, при котором I = I_R = I_рез.

На амплитудной I(w) и фазовой характеристике φ(w) (рис. 2.20 б) можно отметить 3 участка:

- в диапазоне частот 0......w₀ проводимость B_L>B_C; B = B_L- B_C>0 (рис. 2.20 а) и, как следствие – ток отстаёт от напряжения на зажимах цепи. Этот участок амплитудно-частотной характеристики носит индуктивный характер;

- частота изменения напряжения в цепи w = w₀ = w_рез. При этом B_L= B_C B_L- B_C=0; (на рис. 2.20 а показано равенство соответствующих ординат). В этом случае ток I = U ×G совпадает по фазе с напряжением U на зажимах цепи;

- в диапазоне частот w₀......¥ B_C становится больше B_L и, как следствие, B<0 и ток I опережает напряжение U. Данный участок частотной характеристики носит емкостной характер.

На основании равенства I _L = jB_L× U = jB_C× U = I _C строится векторная диаграмма токов при резонансе (рис. 2.21)

Рис. 2.21. Векторная диаграмма при резонансе в параллельном R–L–C-контуре.

Реактивные токи равны и находятся в противофазе, поэтому ток I в неразветвлённой части цепи при резонансе токов равен активному току I_a и совпадает по фазе с напряжением U, т. е. j = 0, а cosj = 1.

Следовательно, вся мощность цепи S при резонансе токов является активной P:

P = S×cosj = S

Эта активная мощность компенсирует потери на активном сопротивлении в параллельном резонансном контуре. Мощность (энергия) колеблется между электрическим полем конденсатора и магнитным полем индуктивности при резонансе не является реактивной, т. к. не загружает источник и провода.

Последовательно с индуктивным элементом L параллельного контура может быть включён резистивный элемент R_L=1/G₁, а последовательно с емкостным элементом C – резистивный элемент R_C=1/G₂, учитывающие, например, потери энергии в проводах и собственные потери, которые свойственны реальным катушкам и, в меньшей мере, конденсаторам (рис. 2.22 а).

б)

:[U]

Рис. 2.22. Параллельное соединение катушки и конденсатора, в цепь каждого из которых последовательно включены резисторы: а) – схема электрическая, б) – векторная диаграмма, в) – треугольник проводимостей.

Условием резонанса токов в такой цепи будет равенство индуктивной и емкостной проводимостей этих ветвей [см. формулу (2.48)]:

(2.50)

После ряда преобразований равенства (2.50) при условии w = w_рез может быть определена частота резонанса токов для схемы рис. 2.22:

(2.51)

Из выражения (2.51) следует, что при равенстве активных сопротивлений ветвей R_L = R_C ¹ r и при R_L << r и R_C << r резонансная частота

и в этом случае условие резонанса токов совпадает с условием резонанса напряжений.

Если в резонансном контуре или , то резонанса токов добиться невозможно.

При расчёте радиотехнических цепей, содержащих параллельные контуры, зачастую вводятся понятия:

- волновой проводимости

;

- затухания

,

характеризующего скорость затухания колебаний однажды начавшихся в контуре, и

- добротность

.

Отметим, что резонанс токов в отличие от резонанса напряжений – явление безопасное для энергетических установок.

2.9. Энергетические процессы, происходящие в резонансном параллельном R – L – C контуре

По аналогии с последовательным R – L – C контуром электрическая энергия параллельного контура может быть представлена как сумма энергий электрического w_Э и магнитного w_М полей

.

		uL= uC= u - резонансная частота параллельного контура

Рис. 2.23. Параллельный резонансный R – L – C контур.

При этом

Так как контур резонансный, то

,

а ток

.

Общая энергия, запасённая контуром, будет

.

Как и в случае последовательного резонансного контура общая энергия поля параллельного контура остаётся постоянной (рис.2.24 а), а значит – отсутствует обмен энергий между цепью и источником. Если более строго, то следует сказать, что источник посылает энергию лишь на покрытие потерь в активном сопротивлении.

Энергия магнитного поля катушки в течение четверти периода тока (рис. 2.24 б) переходит в энергию электрического поля конденсатора, а в последующую четверть периода (рис. 2.24 в) возвращается обратно.

а)

В заключение следует отметить следующее:

1. Резонансная частота w_рез является собственной частотой ω₀ незатухающих колебаний контура (ω₀=ω_рез).

2. Резонанс –явление, когда собственные незатухающие колебания контура совпадают с частотой напряжения источника.

3. Колебательный процесс затухает тем интенсивнее, чем больше R и G. Величина затухания d характеризует скорость затухания колебаний однажды начавшихся в контуре.

4. В любой, сколь угодно сложной, цепи при резонансе обмен энергии между источником и цепью отсутствует.

Дата добавления: 2014-01-11