Одно и многоударные кривые (одна мишень)

Для того, чтобы получить кривые доза–эффект, на графике против дозы облучения наносят число объектов, сохраняющих после воздействия способность выполнять ту же функцию, что и необлученные объекты. Такой график принято называть кривой выживаемости, если исследуется способность клеток, например к бксконечному размножению.

Поскольку величина VD отражает среднее число попаданий в объём V при дозе D, то, согласно распределению Пуассона, вероятность n попаданий описывается распределением Пуассона

P(n) = [(VD)ⁿe^-VD] / n! (1)

Если уже одно попадание эффективно, то выживут те клетки (объекты), которые не получили ни одного попадания, т.е. n = 0. Подставляя это значение в уравнение (1), имеем

S = N/No = e^-VD (2)

Это – экспоненциальная или одноударная кривая доза – эффект.

Отсюда (из уравнения 2) V = [lnN/No] / D. Пусть N/No = e^-1 = 0,37. Тогда e^-1 = e^-VD, т.е. VD = 1 и V = 1 / D₃₇, где D₃₇ = Do – среднелетальная доза. При этой дозе среднее число попаданий в клетке равно 1. Выше на рисунке представлена кривая доза–эффект для клеток карциномы человека линии HeLa после α-облучения

Задачи. На любой нарисованной экспоненциальной кривой определить Do и, наоборот, по заданному значению Do построить экспоненциальную кривую доза–эффект.

Если эффективны два попадания, то выживут объекты с n = 0 и n = 1. Тогда

S = N/No = e^-vD + vDe^-vD (3)

Если эффективны 3 попадания, то выживут объекты с n = 0, n = 1 и n = 2. Тогда

S = N/No = e^-vD + vDe^-vD + [(vD)²e^-vD] / 2! (4)

Если объект содержит одну мишень и для наблюдаемого эффекта требуется n попаданий, то любой объект, получивший (n – 1) попаданий и меньше, окажется неповрежденным. Для модели одной мишени и многих попаданий, кривую доза – эффект получают, суммируя все объекты, получившие 0, 1, 2,….. (n – 1) попаданий, т.е.

S = N/No = e^-VDΣ[(vD)^k] / k! (5)

Суммирование в этом уравнении происходит от k = 0 до k = n – 1. Из этого уравнения для известного значения n и заданном значении дозы D оценивается объем мишени.

Рис. 4. Кривая выживаемости клеток китайского хомячка линии V79 после γ-облучения: экспериментальные точки аппроксимированы по модели многих попаданий

Задача. Нарисовать кривые доза-эффект при Do =1 Гр, n = 1, 2, 4, 10

С ростом ударности, т.е. с ростом числа попаданий, необходимых для повреждения мишени, экспоненциальнаые кривые выживаемости превращаются в сигмоидные кривые с нарастающими плечами.

Имеется целый ряд модификаций этой модели, учитывающих форму радиочувствительной мишени и некоторые другие характеристики, например, зависимость объема мишени от стадии роста, от плоидности клеток и пр.

4. КРИВЫЕ ДОЗА–ЭФФЕКТ В МНОГОМИШЕННЫХ СИСТЕМАХ

Из уравнения (5) следует, что вероятность гибели 1 - S = N⁺/No при одной мишени и многих попаданиях в неё определяется выражением

N⁺/No = 1 - e^-VDΣ[(VD)^k] / k! (6)

Суммирование в этом уравнении снова происходит от k = 0 до k = n – 1.

Поскольку имеется m независимых мишеней, а образование ионизаций в них не зависят друг от друга, то вероятность их повреждения

N⁺/No = {1 - e^-vDΣ[(vD)^k] / k!}^m (7)

Суммирование в этом уравнении снова происходит от k = 0 до k = n – 1.

Тогда кривые доза – эффект (кривые выживаемости) в многомишенных системах описываются выражением

S = N/No = 1 - N⁺/No = 1 - {1 - e^-VDΣ[(vD)^k] / k!}^m (8)

Суммирование в этом уравнении снова происходит от k = 0 до k = n – 1.

Эта формула может быть усложнена для описания мишеней с переменным объемом и критическим числом попаданий.

При n = 1

S = N/No = 1 – (1 – e^-vD)^m (9)

Последнее уравнение можно упростить, разлагая (1 – e^-vD)^m в ряд

S = N/No = 1 – (1 – me^-vD + ……)

При больших дозах D

S = N/No = me^-vD (10)

Отсюда

lnN/No = lnm – vD (11)

При vD = 1 v = 1 / D. Такая доза называется Do или среднелетальной дозой, средней инактивирующей дозой, рассчитанной при больших дозах, т.е. на экспоненциальном участке кривой доза – эффект.

При D = 0 lnN/No = lnm или N/No = m – экстраполяционное число (число мишеней).

Можно представить себе сложную ситуацию, при которой конечный эффект возникает в результате осуществления двух процессов. Один из них представляет собой процесс «одноударного» типа и поэтому пропорционален дозе, тогда как второй процесс является многоударным или многомишенным и, следовательно, пропорционален дозе в некоторой степени, два или больше, т.е.

S = exp(-αD - βD²)

Например, было выдвинуто предположение, согласно которому сокращение продолжительности жизни животных вызвано генетическими повреждениями, складывающимися из точковых мутаций (одноударный процесс) и из хромосомных перестроек (двухударный процесс). Зависимость между дозой и радиационным эффектом выражается сначала прямой линией, а затем – кривой. Более того, число хромосомных перестроек должно зависеть от мощности дозы из-за элиминации повреждений (восстановление) между двумя повреждениями, а точковых мутаций – нет. Такая зависимость от мощности дозы следовала из теории попадания и мишени и была обнаружена в генетических экспериментах на клеточном уровне с точковыми мутациями и хромосомными перестройками. Более того, из этих простых исходных постулатов теории попадания и мишени следовало, что относительная биологическая эффективность (ОБЭ) плотно ионизирующих излучений для точковых мутаций должна равняться единице или даже уменьшаться с ростом ЛПЭ излучения, а для хромосомных перестроек должна быть больше единицы, что также было подтверждено в экспериментах.

В качестве примера суммирую результаты экспериментов, проведенных Н.В. Тимофеевым-Ресовским с коллегами, по выход мутаций у дрозофилы [ карикатуру Ефремова на «мухолюба» редактировал сам Сталин ]. Было показано, что (а) точковые мутации возникают лишь в непосредственной близости от участков облученных хромосом; (б) частота возникновения точковых мутаций следует простой и беспороговой кривой доза–эффект; (в) мутантный эффект в широких пределах не зависит от мощности дозы; (г) выход точковых мутаций на единицу дозы в широких пределах не зависит от жесткости (ЛПЭ) рентгеновских лучей и гамма квантов. Вся совокупность этих данных говорила в пользу того, что в основе возникновения одной мутации лежит одно попадание.

Анализ данных по точковым мутациям привёл авторов к заключению, что попаданием является возникновение в чувствительном объеме одной ионизации или узколокализованной группы ионизаций с сопутствующими возбуждениями. Главный довод в пользу этой точки зрения – отсутствие зависимости эффекта от энергии излучения (ЛПЭ). Например, если бы эффект вызывался прохождением трека частицы через эффективный объем, то снижение энергии рентгеновского излучения или использование более плотно ионизирующего излучения приводило бы к повышению эффективности их действия, чего на самом деле не наблюдалось. На основании радиационных исследований и применения одноударной модели инактивации Н.В. Тимофеев-Ресовский и Макс Дельбрюк оценили радиусы формальных эффективных объёмов для некоторых мутаций. Они находились в диапазоне (0,7 – 2,1)·10^{-7 см. Кстати, Дельбрюк, переехавший в США в 1937 году, в 1969 году получил Нобелевскую премию. Опять же кстати, когда Николая Владимировича (ныне реабилитированного) посадили в ГУЛАГ, и на него в центральных изданиях публиковались карикатуры, мой учитель Борис Николаевич Раевский в Западной Германии, пытаясь помочь ему, выдвинул его на Нобелевскую премию, но увы…}

Тщательный анализ применения моделей попадания и мишеней показывает, что кривые выживания клеток можно удовлетворительно описать с помощью той или иной математической модели. Однако следует подчеркнуть, что хорошее соответствие опытных и расчетных кривых само по себе ещё не доказывает справедливость предложений, лежащих в основе этих моделей. Комбинации различных моделей также описывают кривые доза–эффект, сходные с многоударными и мнгомишенными кривыми. Следовательно, анализируя только форму кривой выживания, трудно сделать выбор между различными математическими моделями, с помощью которых можно интерпретировать полученные данные, хотя каждая конкретная кривая выживания, как правило, довольно точно описывается тот или иной математической моделью. По-видимому, хорошему соответствию теоретических и экспериментальных кривых доза-эффект вообще не следует придавать большого значения, если справедливость теории и лежащих в её основе постулатов не проверена в независимых экспериментах.

Термин «попадание», используемый для описания критического события поглощения энергии, понимается как «стрельба в цель». Вполне очевидны довольно-таки грубые упрощения сложных реакций облученного объекта. Так, трудно себе представить, что некоторое субкритическое число попаданий, например (n – 1) попаданий в одну мишень или поражение (m – 1) мишеней не вызывают никакого эффекта и вдруг добавление единственного попадания в одну мишень или поражение одной дополнительной мишени приводит сразу к наблюдаемому эффекту. Другими словами, следует ожидать, что сублетальные повреждения приведут к каким-то тоже эффектам, хотя бы к сенсибилизации к последующему облучению.

Пример более сложных кривых выживаемости.

Дата добавления: 2014-01-11